Ho visto giusto?(problema geometrico)

[Marco241]

E' dato il triangolo equilatero ABC avente i lati di misura 2l e la semicirconferenza esterna al triangolo ,di diametro $ bar(AB) $ .Nella regione costituita dal triangolo e dalla semicirconferenza inscrivere il rettangolo ,avente due lati paralleli ad $ bar(AB) $ ,di perimetro massimo.

Nota bene:da risolvere con conoscenze da terzo liceo scientifico.

SVOLGIMENTO:

Considero un triangolo equilatero di base AB.Sulla base AB traccio la semicirconferenza richiesta.

chiamo $ bar(DE) $ la parallela ad $ bar(AB) $ che incontra in D il lato $ bar(AC) $ e in E il lato $ bar(BC) $ .

Adesso nella semicirconferenza di diametro $ bar(AB) $ traccio la corda $ bar(GF) $ parallela ad AB E DE.

Chiamo T l'intersezione dell'altezza CH con DE.

Chiamo L l'intersezione di AB con EF.

Chiamo I l'intersezione di AB con DG.

Adesso noto:

$ bar(AH)=bar(BH)=l $

$ bar(TE)=x $

$ bar(CH)=sqrt(3)l $

$ bar(DE)=bar(GF)=2x $

Considero i triangoli simili CHB e CTE:

$ bar(CT)=sqrt(3)x $

$ bar(CE)=2x $

$ bar(TE)=bar(HL)=x $

$ bar(BL)=l-x $

$ bar(BE)=bar(BC)-bar(CE)=2l-2x $

$ bar(EL)=sqrt((2l-2x)^2-(l-x)^2) $

$ bar(LF)=bar(GI)=sqrt(l^2-x^2) $ per ricavare LF applico Pitagora al triangolo HLF.Infatti il rettangolo DEFG è la somma di due rettangoli : DILE+GILF.Di conseguenza LF è diverso da EL e va calcolato a parte...

Adesso il perimetro lo chiamo $ P $ ed è uguale a:

$ P=4x+2sqrt(3)*(l-x)+2*sqrt(l^2-x^2) $

con

$ 0<=x<=l $

Solo che i calcoli sono veramente lunghi...mmm troppo tempo....Dove sbaglio?

[@melia]

Io lo risolverei nel piano cartesiano, così, tra l'altro, il perimetro sarebbe una parabola con la quale è possibile trovare il minimo senza problemi.

[giammaria2]

Scusa, @melia, potresti essere più chiara? Suppongo che tu abbia trovato una soluzione strepitosa, ma io proprio non la vedo. Se intendevi dire di usare l'analitica fin dall'inizio, non si evita comunque la presenza della radice originata dalla semicirconferenza; se invece volevi dire di continuare in quel modo, il perimetro non è una parabola. Forse mi sfugge qualcosa.
Sarebbe interessante sapere quali metodi conosce Marco24 per la ricerca dei massimi e minimi; di solito in terza si fanno solo problemi risolubili con la parabola o pochi altri facili ragionamenti e non mi sembrano applicabili a questo esercizio. Forse andrebbe bene il metodo di Tartinville ma i calcoli sono veramente lunghi e da anni non è esplicitamente incluso nel programma ministeriale.

[Marco241]

No Giammaria lo devo risolvere senza Tartinville così come vedi...Ed è veramente palloso!

[giammaria2]

Aspettiamo di conoscere la risposta di @melia e speriamo che non si sia sbagliata, come a me capita anche troppo spesso. A parte idee veramente geniali, escludendo le parti di matematica che studierai in futuro (o che non studierai, come Tartinville), mi pare che l'unico metodo possibile sia dire che il massimo deve corrispondere ad un estremo della limitazione o all'annullarsi del discriminante e calcolare il perimetro in quei casi.

[vittorino70]

Un modo per risolvere la cosa senza calcoli ...pallosi potrebbe essere questo.
Per la limitazione di x si può porre \(\displaystyle x=l \sin t \) con \(\displaystyle 0°\leq t \leq 90° \)
Con questa posizione il perimetro P diventa:
\(\displaystyle P=4l \sin t +2l\sqrt 3 (1-\sin t) +2l \cos t\)
oppure:
\(\displaystyle P=2l\sqrt3 +2l \cdot [\cos t +(2-\sqrt3) \sin t] \)
Ora \(\displaystyle 2-\sqrt3=\tan 15°=\frac{\sin 15°}{\cos 15°} \) e quindi sostituendo ,con qualche piccolo calcolo,si ha:
\(\displaystyle P= 2l\sqrt3+\frac{2l}{\cos 15°} \cos (t-15°) \)
A questo punto il perimetro massimo si ha evidentemente per \(\displaystyle \cos(t-15°)=1 \) ovvero per \(\displaystyle t=15° \)
In corrispondenza di tale valore risulta:
\(\displaystyle P_{max}=2l(\sqrt3+\sqrt6-\sqrt2 )=21 (\sqrt3+\sqrt6-\sqrt2 ) \) e si ottiene per \(\displaystyle DE=2x=2l\sin15°=\frac{21}{4}\cdot(\sqrt 6-\sqrt2) \)

[giammaria2]

Il metodo è ottimo; peccato che di solito la trigonometria si studi in quarta e Marco24 voglia una soluzione con conoscenze di terza liceo scientifico.

[vittorino70]

La trigonometria ,per quello che mi risulta ,si studia in seconda e si continua in terza liceo scientifico.Si studia in quarta solo nei licei scientifici di ordinamento ( vecchia versione..) ma oramai di tali licei ne saranno sopravvissuti ben pochi !
Speriamo che Marco24 non sia in uno di questi ultimi ...

[Marco241]

No tranquillo che Trigonometria la so e ho fatto pure i teoremi sui triangoli .O meglio...So seno,coseno,tangente,cotangente,i primi due teoremi principali sui triangoli...Def...Etc.
Bel metodo Vittorino e complimenti a tutti voi!Siete davvero forti!

[@melia]

"giammaria":Aspettiamo di conoscere la risposta di @melia e speriamo che non si sia sbagliata.

Hai ragione mi sono sbagliata, era venuto molto bello, peccato che mancasse una radice.