Ho un dubbio sul segno di questa funzione

[nisk1]

ho un dubbio sullo studio di questa funzione: $ f(x)=xlog((x-2)/x) $ studiando il segno ho trovato che è minore nell'intervalllo $ ]-oo,0[ $ e maggiore tra $ ]2,+oo[ $ anche se il limiter per $ x->2^+$ è $-oo$ dove sbaglio? $ xlog((x-2)/x)>=0 $ ponendo il logaritmo maggiore di zero, è verificato $ x<=0 e x>=2 $ ponendo x maggiore di zero, invece, è vericata per tutte le x maggiori di zero, mi rendo conto che magari è una banalità, ma proprio non riesco a capire cosa possa essere

[Lo_zio_Tom]

"nisk":... studiando il segno ho trovato che è minore nell'intervalllo $ ]-oo,0[ $

...e maggiore tra $ ]2,+oo[ $

per $x>2$, $log((x-2)/x)$ è minore di zero, dato che l'argomento del log è minore di uno....quindi anche tutta la funzione è minore di zero

"nisk":ponendo [strike]il[/strike] l'argomento del logaritmo maggiore di zero, è verificato $ x<=0 e x>=2 $

....anche questo è sbagliato....le disuguaglianze sono forti, non deboli ( e non è un errore da poco....)

[@melia]

"nisk":$ xlog((x-2)/x)>=0 $ ponendo il logaritmo maggiore di zero, è verificato ...

Ma non hai posto il logaritmo maggiore di 0, hai posto l'argomento del logaritmo maggiore di 0 e questo serve a calcolare il dominio della funzione, non il segno.
Se vuoi calcolare il segno
$log((x-2)/x)>=0 $ viene $(x-2)/x>=1$, da cui $-2/x>=0$