Ho bisogno di voi

[marta136]

1)Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Considera un punto P, interno al triangolo ABC, e tale che PÂB=PBA(angolo).
Dimostra che:
a. AP congruente PB;
b. CP è la bisettrice dell'angolo ACB;
c. detti D ed E due punti appartenenti rispettivamente a BC e AC tali che DC congruente EC, risulta EP congruente DP.
2)Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Una retta parallela ad AB interseca i lati AC e BC del triangolo, rispettivamente, in P e Q. Traccia quindi la retta r passante per P e parallela a BC e la retta s passante per Q e parallela ad AC, indicando con R il punto di intersezione di r e s. Dimostra che:a. il triangolo PQC è isoscele; b. il triangolo PQR è isoscele; c. CR è bisettrice dell'angolo AC^B

[Zero87]

Ciao Marta, per il problema n. 1 ti copio-incollo la risposta che avevo dato ieri (la cancello di là).

Ok, cerco di aiutarti nella risoluzione del problema. Il mio disegno non è perfetto, ma comunque aiuta.

Per quanto riguarda il punto a, non c'è quasi nulla da risolvere perché, per costruzione, sappiamo che gli angoli PAB e PBA sono congruenti. Potrei dirti: se consideri il triangolo PAB, cosa puoi dire?

Per quanto riguarda il punto b, sembra molto difficile in prima analisi ma in realtà basta dimostrare che i triangoli APC e BPC sono congruenti. In questo modo concludi che gli angoli ACP e BCP sono congruenti (quindi CP è bisettrice di ACB). Come puoi farlo? Vediamo un po', cosa puoi dire sui vari elementi di questi due triangoli?

Per quanto riguarda il punto c, è anche più facile del b e, anche qui, puoi dimostrare che i triangoli CPD e CPE sono congruenti. Anche in questo caso, cosa puoi dire dei due triangoli?
(un piccolo hint: ricordati che nel punto precedente hai dimostrato che gli angoli ECP e DCP sono congruenti...)

Che ne dici, ti va di provare?

Aggiunto 21 minuti più tardi:

Ciao di nuovo e buon fine settimana, passo al problema 2. Anche in questo caso ti do una mano e cerco di farti arrivare alla soluzione.

a. Il triangolo PQC è isoscele.
AB e PQ sono paralleli quindi rientriamo nel caso di due rette parallele tagliate da una trasversale.
Mi spiego meglio, se AB e PQ sono paralleli e sono "tagliati" dal segmento CB, abbiamo che gli angoli CQB e CBA sono corrispondenti e quindi congruenti. Ragionamento analogo per gli angoli CPQ e CBA. Ma quindi, essendo il triangolo isoscele in partenza, per gli angoli vale CAB=CBA e dunque...

b. Il triangolo PQR è isoscele.
Il ragionamento è lo stesso di prima (ma con trasversali diverse). AB e PQ sono parallele tagliate dalla trasversale PR. Quindi gli angoli QPR e CAB sono congruenti in quanto alterni interni. Stessa cosa per gli angoli PQR e CBA. Ma, come detto nel punto a., sappiamo che CAB=CBA e quindi...

c. CR è bisettrice di ACB.
È un po' un tranello questa domanda, ma per costruzione sappiamo che PR è parallelo a QC e QR è parallelo a PC. Se ricordi, infatti, si sono tracciate le due rette r e s con queste caratteristiche.
Ora, un quadrilatero con i lati opposti paralleli è come minimo un parallelogramma. Dunque, essendo parallelogramma i lati opposti sono a due a due congruenti.
Nei punti precedenti, però, abbiamo dimostrato che il triangolo PQC è isoscele, quindi PC=PQ, ma allora tutti i lati sono congruenti e il nostro parallelogramma in realtà è un rombo.
Le diagonali di un rombo, a questo punto, hanno alcune proprietà particolari...