Ho bisogno del vostro aiuto

[Patrizi99]

Il proff non sa spiegare niente, nessuno capisce matematica in classe mia. Qualcuno può aiutarmi a spiegare come si svolgono i problemi dell'iperbole???
Ad esempio
1) Scrivi l'equazione dell'iperbole passante per il punto Q(3,2) e P(1,1)
2)scrivi l'equazione dell'iperbole conoscendo V(5,0) e F(7,0)
3)Determina l'equazione dell'iperbole nel punto F(0,-2) e ha per asintoti l'equazione y=-1/2x e 1/2
poi ci sono altri ma io non ci ho capito niente in nessuno di tutti gli esercizi mi viene da piangere :(

[mc2]

Per capire la geometria analitica e` importante leggere bene il libro di testo, con tutte le spiegazioni e gli esempi. Vedrai che non e` difficile.

Ci sono tante formule che devi ricordare.


Primo problema

Per esempio l'equazione di un'iperbole puo` avere due forme:

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

oppure

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1[/math]

(la prima ha i fuochi sull'asse orizzontale, la seconda su quello verticale).

A priori non sappiamo se l'iperbole passante per Q(3,2) e P(1,1) avra` i fuochi sull'asse x o y, dobbiamo provare con entrambe le forme (potremmo trovare due soluzioni!)

Imponiamo il passaggio per Q(3,2):

[math]\frac{3^2}{a^2}-\frac{2^2}{b^2}=1[/math]

cioe`

[math]\frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1[/math]

Imponiamo il passaggio per P(1,1):

[math]\frac{1^2}{a^2}-\frac{1^2}{b^2}=1[/math]

cioe`

[math]\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1[/math]

Adesso si risolve il sistema formato dalle equazioni in rosso e si trovano le incognite a e b (per risolvere il sistema ci vuole un po' di furbizia, altrimenti si rischia di annegare nei calcoli!):

Dalla seconda equazione:

[math]\frac{1}{a^2}=1+\frac{1}{b^2}[/math]

che si puo` sostituire nella prima:

[math]9\left(1+\frac{1}{b^2}\right)-\frac{4}{b^2}=1[/math]

[math]\frac{5}{b^2}=-8[/math]

che e` impossibile.

Quindi proviamo con la seconda forma:

Imponiamo nuovamente il passaggio per Q e P:

[math]\left\{\begin{array}{l}
\frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}=-1 \\
\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=-1\end{array}\right.
[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{a^2}=-1+\frac{1}{b^2} \\
{9}\left(-1+\frac{1}{b^2}\right)-\frac{4}{b^2}=-1 \end{array}\right.
[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{a^2}=-1+\frac{1}{b^2} \\
\frac{5}{b^2}=8 \end{array}\right.
[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{b^2}=\frac{8}{5} \\
\frac{1}{a^2}=-1+\frac{1}{b^2}=-1+\frac{8}{5}=\frac{3}{5}
\end{array}\right.
[/math]

quindi l'iperbole richiesta e`:

[math]\frac{3}{5}x^2-\frac{8}{5}y^2=-1[/math]

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Secondo problema

Qui occorre proprio conoscere le formule: cercale sul tuo libro e leggi bene le spiegazioni e gli esempi!


Il fuoco ed il vertice stanno sull'asse x, quindi la forma da usare e`:

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

Qui le incognite

[math]a[/math]

e

[math]b[/math]

si devono trovare usando le formule per i vertici ed i fuochi:

Fuochi:

[math]F(\pm\sqrt{a^2+b^2},0)[/math]

Vertici:

[math]V(\pm a,0)[/math]

Un vertice e` V(5,0) quindi

[math]a=5[/math]

e si ricava

[math]b[/math]

dal fuoco F(7,0):

[math]\sqrt{a^2+b^2}=7[/math]

[math]25+b^2=49[/math]

[math]b^2=24[/math]

quindi l'iperbole e`:

[math]\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{24}=1[/math]

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Terzo problema

Di nuovo, devi studiare la teoria e le formule del libro

Qui il fuoco sta sull'asse y quindi la forma sara`

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1[/math]

Fuoco:

[math]F(0,\pm\sqrt{a^2+b^2})[/math]

in questo caso:

[math]F(-2,0)[/math]

quindi

[math]\sqrt{a^2+b^2}=2[/math]

gli asintoti sono le due rette di equazione:

[math]y=\pm\frac{b}{a}x[/math]

quindi in questo caso:

[math]\frac{a}{b}=\frac{1}{2}[/math]

cioe`

[math]b=2a[/math]

che si sostituisce nella prima equazione:

[math]\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=2[/math]

[math]5a^2=2[/math]

[math]a^2=\frac{2}{5}[/math]

e

[math]b^2=\frac{4}{5}[/math]

e l'iperbole e`:

[math]\frac{5}{2}x^2-\frac{5}{4}y^2=-1[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

L'unico consiglio che posso darti e`: studia bene la teoria, leggiti il libro!!!
Troverai molti esempi e vedrai che non e` cosi` difficile.

E la prossima volta non aspettare gli ultimi giorni prima del compito!