Help urgente problema GEOMETRIA
Ciao, avrei bisogno di un aiuto per il seguente esercizio di geometria. Dato un triangolo ABC isoscele sulla base AB, sia CH l''altezza relativa ad AB.Traccia la retta passante per H e parallela a BC ed indicacon P il suo punto di intersezione con AC. Traccia l'asse del segmento HB ed indica con Q il suo punto di intersezione con il lato BC. Dimostra che PQ incontra CH nel suo punto medio.
Risposte
Ciao, ho provato a fare il disegno con il paint ma mi ci sono un po' intrecciato perciò ho fatto uno schizzo su carta (che non allego) e lascio il disegno a te.
Ti imposto l'esercizio, diciamo che te ne dico un 50% e ti lascio da collegare e da completare i punti della dimostrazione.
Il primo passo è dimostrare che il triangolo CPH è isoscele. Dimostri che è isoscele APH (suggerimento: è questione... di angoli!) e, da lì, deduci che lo è anche CPH visto che CP = AP.
In seguito dimostri che CQ = QB. Questo puoi farlo per il teorema di Talete di cui non ricordo mai il nome (quello dei fasci di rette parallele e delle trasversali che formano segmenti proporzionali). Comunque, se indichi con Z il punto da cui parte l'asse del segmento HB, hai HZ = ZB (perché l'asse del segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il punto medio), da cui deduci CQ = QB per il teorema citato in precedenza visto che HQ è parallelo a CH.
A questo punto, dimostri che il triangolo QHB è isoscele. Questo è per definizione, senza perderci tempo poiché l'altezza QZ è anche mediana di HB per definizione di asse di un segmento. Quindi QH = QB ed è uguale anche a QC visto che QB = QC dal punto precedente.
Se CQ = QB hai anche che CQ = QB = CP = AP perché sono tutti congruenti a metà lato obliquo del triangolo isoscele. Quindi il quadrilatero HPCQ è un rombo... ma... quali sono le proprietà delle diagonali di un rombo?
Ti imposto l'esercizio, diciamo che te ne dico un 50% e ti lascio da collegare e da completare i punti della dimostrazione.
Il primo passo è dimostrare che il triangolo CPH è isoscele. Dimostri che è isoscele APH (suggerimento: è questione... di angoli!) e, da lì, deduci che lo è anche CPH visto che CP = AP.
In seguito dimostri che CQ = QB. Questo puoi farlo per il teorema di Talete di cui non ricordo mai il nome (quello dei fasci di rette parallele e delle trasversali che formano segmenti proporzionali). Comunque, se indichi con Z il punto da cui parte l'asse del segmento HB, hai HZ = ZB (perché l'asse del segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il punto medio), da cui deduci CQ = QB per il teorema citato in precedenza visto che HQ è parallelo a CH.
A questo punto, dimostri che il triangolo QHB è isoscele. Questo è per definizione, senza perderci tempo poiché l'altezza QZ è anche mediana di HB per definizione di asse di un segmento. Quindi QH = QB ed è uguale anche a QC visto che QB = QC dal punto precedente.
Se CQ = QB hai anche che CQ = QB = CP = AP perché sono tutti congruenti a metà lato obliquo del triangolo isoscele. Quindi il quadrilatero HPCQ è un rombo... ma... quali sono le proprietà delle diagonali di un rombo?
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