HELP !!! Problema trigonometria
Il candidato risolva e discuta il seguente problema trigonometrico.
Nel quadrato ABCD di lato "a" sia M il punto in cui l'arco BD di circonferenza di centro A e raggio a taglia la diagonale AC. Determinare sull'arco BM un punto P in modo che, condotta per esso la tangente all'arco fino ad incontrare in F il lato CD ed indicato con E il punto in cui il prolungamento del raggio OP incontra il lato BC, sia verificata la relazione:
PE + PF = (radice di 3 - 1)a.
Spero che qualcuno posso descrivermi la risoluzione .
Grazie
HELP
Nel quadrato ABCD di lato "a" sia M il punto in cui l'arco BD di circonferenza di centro A e raggio a taglia la diagonale AC. Determinare sull'arco BM un punto P in modo che, condotta per esso la tangente all'arco fino ad incontrare in F il lato CD ed indicato con E il punto in cui il prolungamento del raggio OP incontra il lato BC, sia verificata la relazione:
PE + PF = (radice di 3 - 1)a.
Spero che qualcuno posso descrivermi la risoluzione .
Grazie
HELP
Risposte
Allora, ti spiego la soluzione:
Per sapere come determinare il punto $P$ sull'arco $MB$, bisogna determinare l'angolo $PhatAB=x$ in modo tale che $PE+PF=(sqrt3-1)a$
Consideriamo il triangolo $ABE$: è retto in $hatB$. Quindi l'ipotenusa è $AE=(AB)/cosx=a/cosx$ e il cateto è $EB=ABtgx=atgx$.
Consideriamo ora il triangolo $APB$: è simile a $ABE$ in quanto hanno gli angoli uguali (retto in $hatP$), e quindi avranno i lati in proporzione.
Quindi: $(AE)/(AB)=(AB)/(AP)$ da cui $AP=(AB)^2/(AE)=a^2/(a/cosx)=acosx$
Ora: $PE=AE-AP=a/cosx-acosx=a((1-cos^2x)/cosx)=a((sen^2x)/cosx)$
Sapendo che $AhatBP=90-x$ allora $EhatBP=x$, quindi $FB=(CB)/cosx=a/cosx$. $PB=ABsenx=asinx$.
Quindi $FP=FB-PB=a/cosx-asinx=a((1-sinxcosx)/cosx)$
Sostituisci all'equazione iniziale e troverai la soluzione...
Per sapere come determinare il punto $P$ sull'arco $MB$, bisogna determinare l'angolo $PhatAB=x$ in modo tale che $PE+PF=(sqrt3-1)a$
Consideriamo il triangolo $ABE$: è retto in $hatB$. Quindi l'ipotenusa è $AE=(AB)/cosx=a/cosx$ e il cateto è $EB=ABtgx=atgx$.
Consideriamo ora il triangolo $APB$: è simile a $ABE$ in quanto hanno gli angoli uguali (retto in $hatP$), e quindi avranno i lati in proporzione.
Quindi: $(AE)/(AB)=(AB)/(AP)$ da cui $AP=(AB)^2/(AE)=a^2/(a/cosx)=acosx$
Ora: $PE=AE-AP=a/cosx-acosx=a((1-cos^2x)/cosx)=a((sen^2x)/cosx)$
Sapendo che $AhatBP=90-x$ allora $EhatBP=x$, quindi $FB=(CB)/cosx=a/cosx$. $PB=ABsenx=asinx$.
Quindi $FP=FB-PB=a/cosx-asinx=a((1-sinxcosx)/cosx)$
Sostituisci all'equazione iniziale e troverai la soluzione...
"gygabyte017":
Consideriamo il triangolo $ABE$: è retto in $hatB$. Quindi l'ipotenusa è $AE=(AB)/cosx=a/cosx$ e il cateto è $EB=ABtgx=atgx$.
Consideriamo ora il triangolo $APB$: è simile a $ABE$ in quanto hanno gli angoli uguali (retto in $hatP$), e quindi avranno i lati in proporzione.
Quindi: $(AE)/(AB)=(AB)/(AP)$ da cui $AP=(AB)^2/(AE)=a^2/(a/cosx)=acosx$
Da come ho fatto il mio disegno non viene che il triangolo $APB$ è retto...
Per caso la soluzione è $x=pi/6 equiv 30°$?
"WiZaRd":
[quote="gygabyte017"]
Consideriamo il triangolo $ABE$: è retto in $hatB$. Quindi l'ipotenusa è $AE=(AB)/cosx=a/cosx$ e il cateto è $EB=ABtgx=atgx$.
Consideriamo ora il triangolo $APB$: è simile a $ABE$ in quanto hanno gli angoli uguali (retto in $hatP$), e quindi avranno i lati in proporzione.
Quindi: $(AE)/(AB)=(AB)/(AP)$ da cui $AP=(AB)^2/(AE)=a^2/(a/cosx)=acosx$
Da come ho fatto il mio disegno non viene che il triangolo $APB$ è retto...[/quote]
E perchè no? Forse mi sbaglio, ma se la retta BF è tangente all'arco, e il segmento AP è il raggio, i 4 angoli formati dalle 2 rette (BF e AP) nel punto P non sono tutti retti?!?
PB è una corda! Infatti sia P sia B sono punti della circonf. Quindi come fa una corda ad essere perpendicolare al raggio passante per un suo estremo???
PE si determina per differenza tra AE ed AP.
Si introduca un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico con l'origine nel vertice $A$ del quadrato e di modo che il lato $AB$ dello stesso appartenga all'asse delle ascisse così come il lato $AC$ appartenga a quello delle ordinate; in tale sistema si assuma come unità il lato $AB=a$ del quadrato: in questo modo, ovunque sarebbe dovuto comparire il parametro $a$ adesso vi sarà un $1$ e la richiesta della problema diventa verificare che $PE+PF=sqrt3 - 1$.
Si faccia dunque riferimento alla figura sotto riportata.
Per risolvere il problema bisogna determinare l'ampiezza dell'angolo $hat(BAP)$ opportuna ai fini del verificarsi dell'uguaglianza $PE+PF=sqrt3 - 1$: per il seguito si pone $x=hat(BAP)$.
$PK, FH, PL$ sono le perpendicolari ad $AB, AB, FH$ rispettivamente.
Si ha che, per come è stato costruito il tutto:
$AB=BC=CD=AD=1$
$AK=cosx$
$PK=senx$
$BE=tgx$
$FL=FH - HL=1 - senx$
$BK=AB - AK=1 - cosx$
Inoltre, i triangoli rettangoli $AKP$ e $ABE$ (retti rispettivamente in $K$ e $B$) sono simili e questo implica che
$AK:BK=AP:PE => cosx : 1 - cosx=1 : PE => PE=(1-cosx)/cosx$
L'angolo $hat(LFP)$ è anch'esso $x$ e, quindi, nel triangolo rettangolo $FLP$ retto in $L$ si ha che
$FL=PF*cosx => 1-senx=FP*cosx => FP=(1-senx)/cosx$
La condizione $PE+PF=sqrt3 - 1$ diventa $(1-cosx)/cosx + (1-senx)/cosx = sqrt3 - 1$: questa equazione, opportunamente risolta, restituisce come radice il valore $x=pi/6$ (a meno di periodicità)
P.S.: d'altronde le periodicità non servono perchè si lavora in un quadrato.
Si faccia dunque riferimento alla figura sotto riportata.
Per risolvere il problema bisogna determinare l'ampiezza dell'angolo $hat(BAP)$ opportuna ai fini del verificarsi dell'uguaglianza $PE+PF=sqrt3 - 1$: per il seguito si pone $x=hat(BAP)$.
$PK, FH, PL$ sono le perpendicolari ad $AB, AB, FH$ rispettivamente.
Si ha che, per come è stato costruito il tutto:
$AB=BC=CD=AD=1$
$AK=cosx$
$PK=senx$
$BE=tgx$
$FL=FH - HL=1 - senx$
$BK=AB - AK=1 - cosx$
Inoltre, i triangoli rettangoli $AKP$ e $ABE$ (retti rispettivamente in $K$ e $B$) sono simili e questo implica che
$AK:BK=AP:PE => cosx : 1 - cosx=1 : PE => PE=(1-cosx)/cosx$
L'angolo $hat(LFP)$ è anch'esso $x$ e, quindi, nel triangolo rettangolo $FLP$ retto in $L$ si ha che
$FL=PF*cosx => 1-senx=FP*cosx => FP=(1-senx)/cosx$
La condizione $PE+PF=sqrt3 - 1$ diventa $(1-cosx)/cosx + (1-senx)/cosx = sqrt3 - 1$: questa equazione, opportunamente risolta, restituisce come radice il valore $x=pi/6$ (a meno di periodicità)
P.S.: d'altronde le periodicità non servono perchè si lavora in un quadrato.
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