Help mate

[matt112]

Ciao a tutti mi servirebbe un aiuto per risolvere questo problema di trigonometria. Io sono arrivato a un punto e nn so + and avanti… il problema dice che sia AOB un settore circolare di centro O, di raggio AO=OB=r e di ampiezza 120°. Determinare sull’arco AB un punto P tale che, detta H la proiezione di P sulla corda AB, sia AH+3BH=(2#8730;3+1)r.
Il disegno mi è venuto e come primo passaggio ho pensato di applicare il teorema della corda facendo:
AB=2r sen120°
È giusto??
Poi però non so + andare avanti…

[fireball1]

AB = 2r*sen(60°) = r*sqrt(3)
AOB è un triangolo isoscele perché
AO = OB , con angoli alla base di 30°.
Adesso poniamo AOP = x , con 0° < x < 120°
L'angolo APB è uguale all'angolo AOB di 120°
e quindi sarà anche PBA = PAB = 30°
Applicando il teorema della corda si ha:
AP = 2r*sen(x/2)
Il triangolo APH è rettangolo perché la
proiezione H di P è ortogonale ad AB. Dunque:
AH = AP*cos(30°) = 2r*sen(x/2)*(sqrt(3)/2) = r*sqrt(3)*sen(x/2)
BH = AB - AH = r*sqrt(3) - r*sqrt(3)*sen(x/2) = r*sqrt(3)*(1 - sen(x/2))
Sostituendo nella relazione data dal problema si ha:
r*sqrt(3)*sen(x/2) + 3r*sqrt(3)*(1 - sen(x/2)) = (2*sqrt(3) + 1)r
Eliminando r si ha:
sqrt(3)*sen(x/2) + 3*sqrt(3)*(1 - sen(x/2)) = 2*sqrt(3) + 1
Risolvendo questa equazione goniometrica si ottegono diverse soluzioni.
Delle soluzioni ottenute va considerata solo quella compresa tra 0° e 120° ,
per le condizioni precedentemente poste.

[JvloIvk]

Basta porre AH=x da cui BH=r sqrt3-x
Quindi:
x+3sqrt3-3x=(2#8730;3+1)r

Ps.Cos'è (2#8730;3+1)r?

[fireball1]

#8730; è il codice per la radice quadrata.
Su questo forum non funziona purtroppo.

[fireball1]

@JvloIvk. La soluzione della tua
equazione viene espressa in funzione
del raggio r. Io credo che il problema
chieda un qualche angolo, visto che,
come dice matt, è di trigonometria.

[fireball1]

Comunque la soluzione in gradi è: x = (360/pi)*arcsen(1/2 - sqrt(3)/6))

[JvloIvk]

Ma il problema vuole le coordinate polari o cartesiane del punto P o semplicemente un qualche elemento che lo individua nel piano?
Cmq:
Il triangolo AOB è isoscele e l'angolo OAB=30°
Applicando il teorema dei seni al triangolo OHA:
AH/senx=r/sen(pi-pi/6-x) -->
AH/senx=r/(5/6pi-x)
Con le formule di addizione e sottrazione:
AH/senx=r/(1/2 cosx -sqrt3/2 senx)