Help. limiti

[fra17]

non riesco a risolvere questi limiti

lim (x^2)/(1-cosx)= ?
x->0

lim (2x+3senx)/5tgx = ?
x->0

lim (x^3)/sen^2 x = ?
x->0

lim (sen^2 x) / (1-cos^3 x) = ?
x->0


grazie

[Cherubino]

Mi sembra che siano i tipici problemi nel quale applicare il teorema di L'Hopital,
ovvero se il numeratore e il denominatore tendono a zero,
puoi derivare numeratore e denominatore:
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_l'Hôpital

Per esempio il primo si può risolvere così:

[math] \lim_{x \to 0 } \frac{x^2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0 } \frac{2x}{\sin x} = 2
[/math]

[fra17]

come hai fatto a trasformarlo così?

[mitraglietta]

l'ha scritto in codice latex, ma nn chiedere a me come si fà, perchè nn lo so, fattelo spiegare da cherubino, che la sua tesi di laurea in fisica, l'ha fatta tutta in latex.

[Cherubino]

Ho derivato il numeratore ed il denominatore.

Se non hai ancora studiato le derivate, e quindi non conosci la regola di de L'Hopital, ci sono procedimenti per giungere al risultato, ma più lunghi:

per esempio nel primo puoi moltiplicare numeratore e denominatore per (1 + cos x) e ricordando che (1 -cos^2 x = sin^2 x) otteni

[math]\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (1 + \cos x)}{ \sin^2 x }[/math]

e ricordando che

[math]\lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{ x} = 1[/math]

ottieni che il limite tende a 2.

[fra17]

lim senx/x = 1
x->0

ma a me viene lim {(x^2)/sen^2 x}*2
x->0

quindi la mia domanda è: ma anche x/senx=1???

[Cherubino]

Sì, esatto, a causa del teorema dei due carabinieri (o qualcosa di simile)!

[fra17]

ah si il teorema del confronto

senti...invece per quanto riguarda l'ultimo esercizio? nn riesco proprio a scomporlo. gli altri mi ridanno

[pukketta]

ma l'hopital non si fa cn le derivate??...xke anke io sto studiando i limiti e non si fa con quello, almeno x ora!

[Cherubino]

L'ultimo lo puoi fare utilizzando le seguenti proprietà delle potenze e delle funzione trigonometriche:

[math] \sin^2 x = 1 - \cos ^2 x = (1 - \cos x )(1 + \cos x)[/math]

[math]1 - \cos^3 x = (1 - \cos x) (1 + \cos x + \cos^2 x)[/math]

I due termini (1 - cos x) al numeratore e denominatore si semplificano;
il limite tende a 2/3.

[fra17]

grazie mille

[indovina]

lim (x^3)/sen^2 x = ?
x->0


a me viene 3 e a voi?

[Cherubino]

E' 0 indovina:

Raccogli i vari (x / sin x) e vedi che rimane un termine x al numeratore.