Help limite
Ho 1 problema con questo limite
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^[1/(2x-pi)]$
io credo si debba portare al limite notevole
$lim_(x->infty)(1+1/x)^x=e$
quindi ponendo $1/(2x-pi)=t$
però poi non mi trovo con il risultato quindi per prima cosa vi chiedo è giusto come sto facendo?
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^[1/(2x-pi)]$
io credo si debba portare al limite notevole
$lim_(x->infty)(1+1/x)^x=e$
quindi ponendo $1/(2x-pi)=t$
però poi non mi trovo con il risultato quindi per prima cosa vi chiedo è giusto come sto facendo?
Risposte
Se sostituisci $t=2x-pi$, quindi $x=(t+pi)/2$, e poi espliciti la somma nel coseno, arrivi a qualcosa? Senno' fai con De L'Hopital.
no io ho posto $1/(2x-pi)=t$ quindi
$lim_(t->infty)(1+{1/[1/(-cos((1+pit)/(2t))]})^t$
ed ora moltiplico e divido per $1/{-cos[(1+pit)/(2t)]}$ all'esponente per avere il limite notevole
$lim_(t->infty)(1+{1/[1/(-cos((1+pit)/(2t))]})^{1/[-cos[(1+pit)/(2t)]]}$ è il limite notevole e da e
quindi $lim_(t->infty) (e^[-cos[(1+pit)/(2t)]*t])
è giusto fin qui?
$lim_(t->infty)(1+{1/[1/(-cos((1+pit)/(2t))]})^t$
ed ora moltiplico e divido per $1/{-cos[(1+pit)/(2t)]}$ all'esponente per avere il limite notevole
$lim_(t->infty)(1+{1/[1/(-cos((1+pit)/(2t))]})^{1/[-cos[(1+pit)/(2t)]]}$ è il limite notevole e da e
quindi $lim_(t->infty) (e^[-cos[(1+pit)/(2t)]*t])
è giusto fin qui?
Non so per quale motivo ho visualizzato un limite diverso, da cui il mio suggerimento sballato. Tu non hai modificato nulla, vero? Ora controllo la tua idea.
scusa ma con le formule sto impazzendo e sto cercando di modificare e scriverlo per bene, 1 pò di pazienza please...
ora dovrebbe essere giusto...
A occhio direi che e' corretto e la soluzione mi sembra vicina. Bastano un paio di operazioni.
arririvato lì ho
$lim_(x->pi/2)e^{-cos(x)*[1/(2x-pi)]}=e^(0*infty)$
$lim_(x->pi/2)e^{-cos(x)*[1/(2x-pi)]}=e^(0*infty)$
scusa,non capisco come passi da:
$lim_(t->oo)[1-1/[1/cos((pit+1)/(2t))]]^[1/(2x-pi)]$ al $lim_(t->oo)[1-1/cos((pit+1)/2]]^[1/(-cos[(pit+1)/(2t)]]$
$lim_(t->oo)[1-1/[1/cos((pit+1)/(2t))]]^[1/(2x-pi)]$ al $lim_(t->oo)[1-1/cos((pit+1)/2]]^[1/(-cos[(pit+1)/(2t)]]$
Faccio il cambio di variabile $ t= 2x-pi $ ; se $ x rarr pi/2 $ allora $ t rarr 0 $ ; inoltre $ x=t/2+pi/2 $.
Il limite diventa $lim_(t rarr 0 )[1-(cos(t/2+pi/2)]^(1/t) = lim_(t rarr 0)[1+sin(t/2)]^(1/t)$ che è forma indeterminata del tipo $[1]^(oo) $ .
Per $t rarr 0 $ si ha che $sin(t/2)$ è asintotico a $t/2$ fermandomi al primo termine .
Il limite da calcolare è ora $ lim_(t rarr 0) ( 1+t/2)^(1/t) = lim_(t rarr 0)( 1+t/2)^((2/t)(1/2))= e^(1/2)=sqrt e .$
Il limite diventa $lim_(t rarr 0 )[1-(cos(t/2+pi/2)]^(1/t) = lim_(t rarr 0)[1+sin(t/2)]^(1/t)$ che è forma indeterminata del tipo $[1]^(oo) $ .
Per $t rarr 0 $ si ha che $sin(t/2)$ è asintotico a $t/2$ fermandomi al primo termine .
Il limite da calcolare è ora $ lim_(t rarr 0) ( 1+t/2)^(1/t) = lim_(t rarr 0)( 1+t/2)^((2/t)(1/2))= e^(1/2)=sqrt e .$
"Camillo":
Faccio il cambio di variabile $ t= 2x-pi $ ; se $ x rarr pi/2 $ allora $ t rarr 0 $ ; inoltre $ x=t/2+pi/2 $.
Il limite diventa $lim_(t rarr 0 )[1-(cos(t/2+pi/2)]^(1/t) = lim_(t rarr 0)[1+sin(t/2)]^(1/t)$ che è forma indeterminata del tipo $[1]^(oo) $ .
Per $t rarr 0 $ si ha che $sin(t/2)$ è asintotico a $t/2$ fermandomi al primo termine .
Il limite da calcolare è ora $ lim_(t rarr 0) ( 1+t/2)^(1/t) = lim_(t rarr 0)( 1+t/2)^((2/t)(1/2))= e^(1/2)=sqrt e .$
il risultato è giusto, però mi potresti spiegare che significa che per $t rarr 0 $ si ha che $sin(t/2)$ è asintotico a $t/2$ fermandomi al primo termine.
La funzione $sen x $ è sviluppabile in serie tramite la formula di Taylor(di Mc Laurin) e si ha :
$sen x = x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+....+(-1)^(n) x^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+2)) $ .
Nel caso delle'esercizio è sufficiente fermarsi al primo termine cioè $x $ : quindi $sen x $ se $x rarr 0 $ è approssimabile semplicemente con $ x $ .Se fai il grafico della funzione $y= sen x $ e anche della funzione $ y=x $ vedrai che nell'intorno del punto $x=0 $ le due funzioni tendono a "confondersi".
Quindi ho approssimato $sen(t/2 ) $ con $ t/2 $ sempre nell'intorno di $ t=0 $.
Se non hai fatto questi sviluppi, come temo.. allora l'esercizio si può risolvere in altro modo:
Si era arrivati a dover calcolare questo limite : $lim_(t rarr 0) [1+sen(t/2)]^(1/t) $ che conviene trasformare in questo più
gestibile ( anche se a prima vista sembra più complicato, ricordando che $a^b = e^(b*lna)$):
$lim_(t rarr 0) e^((1/t)ln(1+sen(t/2)) $ .
Ci si è ricondotti quindi a studiare il limite
$lim_(t rarr 0) ln(1+sen(t/2))/t $ che è del tipo $[0/0]$ .
Applicando la regola di DeL'Hopital si arriva a $ lim_(t rarr 0) cos(t/2)/(2*(1+sen(t/2))) $ ; questo limite vale $1/2 $ .
Quindi il limite richiesto è $ e^(1/2)$.
$sen x = x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+....+(-1)^(n) x^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+2)) $ .
Nel caso delle'esercizio è sufficiente fermarsi al primo termine cioè $x $ : quindi $sen x $ se $x rarr 0 $ è approssimabile semplicemente con $ x $ .Se fai il grafico della funzione $y= sen x $ e anche della funzione $ y=x $ vedrai che nell'intorno del punto $x=0 $ le due funzioni tendono a "confondersi".
Quindi ho approssimato $sen(t/2 ) $ con $ t/2 $ sempre nell'intorno di $ t=0 $.
Se non hai fatto questi sviluppi, come temo.. allora l'esercizio si può risolvere in altro modo:
Si era arrivati a dover calcolare questo limite : $lim_(t rarr 0) [1+sen(t/2)]^(1/t) $ che conviene trasformare in questo più
gestibile ( anche se a prima vista sembra più complicato, ricordando che $a^b = e^(b*lna)$):
$lim_(t rarr 0) e^((1/t)ln(1+sen(t/2)) $ .
Ci si è ricondotti quindi a studiare il limite
$lim_(t rarr 0) ln(1+sen(t/2))/t $ che è del tipo $[0/0]$ .
Applicando la regola di DeL'Hopital si arriva a $ lim_(t rarr 0) cos(t/2)/(2*(1+sen(t/2))) $ ; questo limite vale $1/2 $ .
Quindi il limite richiesto è $ e^(1/2)$.
Io proporrei un'altro metodo per il calcolo del limite dato. Nel caso in cui zep non avesse ancora trattato il Teorema di De L'Hopital e gli sviluppi di cui ha parlato Camillo.
Si dimostra facilmente (se desideri la dimostrazione, fammi sapere...) che se $lim_(x->c)f(x)=1$ e $lim_(x->c)g(x)=oo$, si ha:
$lim_(x->c)[f(x)]^g(x)=e^(lim_(x->c)[f(x)-1]g(x))$. Il nostro caso è analogo: si presenta la forma indeterminata $[1^(oo)]$. Per quanto detto prima si ottiene:
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^(1/(2x-pi))=e^(lim_(x->pi/2)[(1-cosx)-1](1/(2x-pi)))=e^(-lim_(x->pi/2)(cosx)/(2x-pi))$. Si pone $2x-pi=t$ e, per $x->pi/2$, $t->0$. Sostituendo opportunamente si ha (considerando il limite ad esponente per semplificare la scrittura... ma non dimentichiamoci della base $e$!):
$-lim_(t->0)(cos((t+pi)/2))/t=lim_(t->0)(sin(t/2))/t=1/2$. Allora, in definitiva il limite dato vale $e^(1/2)$. Cioè:
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^(1/(2x-pi))=sqrte$.
Per qualsiasi dubbio, scrivi! Spero di non aver commesso errori e/o imprecisioni!
Si dimostra facilmente (se desideri la dimostrazione, fammi sapere...) che se $lim_(x->c)f(x)=1$ e $lim_(x->c)g(x)=oo$, si ha:
$lim_(x->c)[f(x)]^g(x)=e^(lim_(x->c)[f(x)-1]g(x))$. Il nostro caso è analogo: si presenta la forma indeterminata $[1^(oo)]$. Per quanto detto prima si ottiene:
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^(1/(2x-pi))=e^(lim_(x->pi/2)[(1-cosx)-1](1/(2x-pi)))=e^(-lim_(x->pi/2)(cosx)/(2x-pi))$. Si pone $2x-pi=t$ e, per $x->pi/2$, $t->0$. Sostituendo opportunamente si ha (considerando il limite ad esponente per semplificare la scrittura... ma non dimentichiamoci della base $e$!):
$-lim_(t->0)(cos((t+pi)/2))/t=lim_(t->0)(sin(t/2))/t=1/2$. Allora, in definitiva il limite dato vale $e^(1/2)$. Cioè:
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^(1/(2x-pi))=sqrte$.
Per qualsiasi dubbio, scrivi! Spero di non aver commesso errori e/o imprecisioni!
grazie per le rispostea entrambi. Comunque in effetti il polinomio di Taylor lo conoscevo, ma non l'avevo mai applicato anche perchè a scuola l'abbiamo solo accennato. Per la risoluzione di Andrea90, non mi sono chiari l' ultimo passaggio ($ -limt→0[cos((t+π)/2)]/t=limt→0[sin(x/2)]/t=1/2$) e se puoi postarmi quella dimostrazione mi faresti 1 favore 
Perché non fare in maniera canonica:
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^[1/(2x-pi)] = lim_(x->pi/2)e^[ln(1-cosx)/(2x-pi)] = e^{lim_(x->pi/2)[ln(1-cosx)/(2x-pi)]}$
Applicando l'Hopital all'esponente (visto che è una forma indeterminata del tipo $0/0$):
$lim_(x->pi/2)[ln(1-cosx)/(2x-pi)] = lim_(x->pi/2)[sinx/(2(1-cosx))] = 1/2$
Questo significa che
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^[1/(2x-pi)] = e^(1/2) = \sqrt(e)$
Saluti
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^[1/(2x-pi)] = lim_(x->pi/2)e^[ln(1-cosx)/(2x-pi)] = e^{lim_(x->pi/2)[ln(1-cosx)/(2x-pi)]}$
Applicando l'Hopital all'esponente (visto che è una forma indeterminata del tipo $0/0$):
$lim_(x->pi/2)[ln(1-cosx)/(2x-pi)] = lim_(x->pi/2)[sinx/(2(1-cosx))] = 1/2$
Questo significa che
$lim_(x->pi/2)(1-cosx)^[1/(2x-pi)] = e^(1/2) = \sqrt(e)$
Saluti
Nel passaggio di cui parli ho sfruttato dapprima le relazioni degli "archi associati" e precisamente ho sottinteso i seguenti passaggi:
$cos((t+pi)/2)=cos(t/2+pi/2)=cos(pi/2+t/2)=-sin(t/2)$. Così il limite che ho ottenuto è in funzione di $t$ (Ho corretto il post precedente... al numeratore compariva $sin(x/2)$ e non $sin(t/2)$).
Per quanto riguarda la dimostrazione della regola è la seguente:
Si pone $f(x)=1+alpha$, dove $alpha$ è un infinitesimo per $x->c$. Così si ottiene:
$lim_(x->c)[f(x)]^g(x)=lim_(x->c)[(1+alpha)^(1/alpha)]^(alpha*g(x))$,
ed, essendo $lim_(x->c)(1+alpha)^(1/alpha)=lim_(alpha->0)(1+alpha)^(1/alpha)=e$ ed $alpha=f(x)-1$, segue immediatamente la formula data prima. [c.v.d.]
$cos((t+pi)/2)=cos(t/2+pi/2)=cos(pi/2+t/2)=-sin(t/2)$. Così il limite che ho ottenuto è in funzione di $t$ (Ho corretto il post precedente... al numeratore compariva $sin(x/2)$ e non $sin(t/2)$).
Per quanto riguarda la dimostrazione della regola è la seguente:
Si pone $f(x)=1+alpha$, dove $alpha$ è un infinitesimo per $x->c$. Così si ottiene:
$lim_(x->c)[f(x)]^g(x)=lim_(x->c)[(1+alpha)^(1/alpha)]^(alpha*g(x))$,
ed, essendo $lim_(x->c)(1+alpha)^(1/alpha)=lim_(alpha->0)(1+alpha)^(1/alpha)=e$ ed $alpha=f(x)-1$, segue immediatamente la formula data prima. [c.v.d.]
ok ora è tutto chiaro, grazie mille!
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