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[alex1212]

il triangolo isoscele abc ha la base AB di estremi A( -2;-1) e B (6;3) e il vertice C sull'asse y. Trova l'ordinata di C e l'area del triangolo.

[Ali Q]

Soluzione:

Una volta disegnati i punti A e B nel piano cartesiano, determiniamo l'equazione della retta di cui fa parte il segmento AB.
Essa avrà equazione:

[math]y = mx + n[/math]

Sostituendo di volta in volta le coordinate di A e di B a questa equazione, si otterranno i valori m e di n.
1) A (-2,-1):

[math]-1 = -2m + n[/math]

[math]n = 2m -1[/math]

2) B (6,3):

[math]3 = 6m + n[/math]

Sostituisco a questa equazione la prima:

[math]3 = 6m + 2m -1[/math]

[math]3 + 1= 6m + 2m [/math]

[math]4= 8m [/math]

[math]m= 4/8 = 1/2[/math]

[math]n= 2m -1 = 1-1 = 0[/math]

L'equazione della retta passante per A e B è

[math]y= 1/2 x[/math]

Ora, il punto C deve appartenere ad una retta perpendicolare a quella su cui si trovano A e B.
Due rette sono perpendicolari quando

[math]m*m' = -1[/math]

[math]m' = -1*1/m = -1*2 = -2[/math]

Quindi la retta avrà equazione

[math]y= -2x + n'[/math]

Resta da determinare n'. n' può essere determinato sapendo che la retta, a cui appartiene anche C, passa per un punto del segmento AB situato nella sua mezzeria.
Questo punto ha dunque ascissa pari a

[math](xb-xa)/2 = (6-2)/2 =4/2 = 2[/math]

L'ordinata la si ricava tramite l'equazione della retta a cui appartiene questo punto, ovvero la retta che passa per A e per B.

[math]y = 1/2 x[/math]

[math]y= 1/2*2 = 1 [/math]

Il punto (chiamiamolo H) è dunque

[math](2,1).[/math]

Sostituisco le sue coordinate nelle retta passante anche per C:

[math]y=-2m + n'[/math]

[math]1 =-4 + n'[/math]

[math]n' = 1+4 = 5[/math]

La retta è dunque:

[math]y = -2x + 5[/math]

Dove questa retta interseca l'asse delle ordinate, là si trova C.
Metto dunque a sistema l'equazione della retta appena trovata e l'equazione dell'asse delle ordinate:

[math]y = -2x + 5[/math]

[math]x = 0[/math]

Si ottiene

[math]y = 5[/math]

Soluzione:

[math]C(0,5)[/math]

Determinaimo ora la lunghezza del segmento AB tramite la formula della distanza tra due punti:
AB = \sqrt{(yb-ya)^2 + (xb-xa)^2} = \sqrt{(3+1)^2 + (6+2)^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} =\sqrt{16 + 64} =\sqrt{80} = 4*\sqrt{5}

Determiniamo ora la lunghezza del segmento CH:
AB = \sqrt{(yc-yh)^2 + (xc-xh)^2} = \sqrt{(5-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4^2 +(-2)^2} =\sqrt{16 + 4} =\sqrt{20} = 2*\sqrt{5}

[math]Area = AB*CH/2 = 4*\sqrt{5}* 2*\sqrt{5}/2 = 8*5/2 = 20 [/math]

Fine. Ciao!