Heeelp!! parabola

[disperata93]

potete spiegarmi passo passo il problema? grazie :)

Una parabola, con asse di simmetria coincidente con l'asse y e con il vertice nel punto O(0;0) ha in comune con una retta r il punto A(2;5). La retta r ha coefficiente angolare 1 2 e interseca ulteriormente la parabola nel punto B. Determinare la misura S dell'area del triangolo OAB.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

si è 1/2!!!:))

[issima90]

ciao!
cominciamo!
se l'asse delle y è asse di simmetria vuol dire che l' equazione indicativamente

[math]y=ax^2[/math]

il termine bx non c'è perchè se il vertice si trova sull'asse delle y, vuol dire che l'ascissa è 0 quindi

[math]\frac{-b}{2a}=0 \Longleftrightarrow b=0[/math]

.
ora il coefficiente angolare di r è 1/2? non capisco da come è scritto!

[BIT5]

Continuo dove ha interrotto issima90 :)

Come giustamente diceva issima90, dal momento che il vertice sta sull'Origine, sara'

b=0 (ricordati che TUTTE le parabole che PASSANO per l'origine hanno c=0 e quelle che hanno il vertice sull'asse delle y hanno anche b=0; in questo caso il vertice sta sull'asse delle y (e quindi b=0) e la parabola passa per l'origine (e grazie, proprio li' ha il vertice!)

Ora: sappiamo che il punto A appartiene alla parabola.

Ma allora il punto ne soddisfera' l'equazione.

[math] 5=a2^2 \to a= \frac54 [/math]

E quindi la parabola sara'

[math] y= \frac54 x^2 [/math]

La retta ha coefficiente angolare = 1/2 quindi sara' del tipo:

[math] y= \frac12x+q [/math]

E inoltre passa per il punto A che pertanto ne soddisfera' l'equazione:

[math] 5= \frac12 \cdot 2 +q \to q=4 [/math]

La retta sara' dunque

[math] y= \frac12 x + 4 [/math]

Troviamo le intersezioni retta-parabola

[math] \{y= \frac12 x + 4 \\ y= \frac54 x^2 [/math]

Da cui per confronto

[math] \frac54 x^2= \frac12x+4 \to 5x^2=2x+16 \to 5x^2-2x-16=0 [/math]

che ha soluzioni (uso la ridotta)

[math] x_{1,2}= \frac{1 \pm \sqrt{1+80}}{5} = \frac{1 \pm 9}{5} [/math]

E dunque:

[math] x_1= \frac{10}{5}=2 [/math]

e questa la conoscevamo gia' (e' il punto A)

[math] x_2= \frac{-8}{5} [/math]

A questo punto trovi y (sostituendo x alla retta o alla parabola, come vuoi, tanto il punto appartiene a entrambe perche' e' un punto di intersezione)

Ora puoi calcolare l'area del segmento parabolico :)