Grafico funzioni

[Angel]

Traccia il grafico delle seguenti finzioni: (dominio, simmetrie, segno, intersezioni, asintoti, max e min, concavità e flessi, grafico)

[math]y=(x^{2}-2x-3)e^{-x}[/math]

Il risultato dovrebbe essere: Asintoti: y=0(destro), minimo per
x=2-

[math]\sqrt{5}[/math]

, massimo per x=2+

[math]\sqrt{5}[/math]

, flessi per x=3+

[math]\sqrt{6}[/math]

e per x=3-

[math]\sqrt{6}[/math]

Ho provato a farlo ma non mi risula giusto, sapete dirmi dove ho sbagliato? Grazie =)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Sia data la funzione

[math]f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/math]

definita da

[math]f(x):=(x+1)(x-3)e^{-x}\\[/math]

.

1. Dominio di f:

[math]dom(f)=\mathbb{R}\\[/math]

.

2. Intersezioni di f con gli assi:

[math]A(-1,\,0), \; B(0, \; -3), \; C(3, \; 0)\\[/math]

.

3. Studio della positività di f: è presente un prodotto tra una funzione esponenziale (che sappiamo essere non negativa per qualsiasi x reale) e una funzione polinomiale di secondo grado (che per semplicità ho già fattorizzato). Dunque è sufficiente studiare la positività di quest'ultimi due fattori e fare il prodotto dei segni. A conti fatti si ottiene che

[math]f(x)> 0 \; \Leftrightarrow \; x 3\\[/math]

.

4. Studio simmetrie "notevoli" di f:

[math]f(-x)=(x-1)(x+3)e^x \, \Rightarrow \; \not\exists \; sym\\[/math]

.

5. Studio limiti "interessanti" per f:

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty\,, \; \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0^+ \end{aligned}[/math]

. Dunque, per

[math]x\to +\infty[/math]

la retta

[math]y=0[/math]

è asintoto destro al grafico di

[math]f\\[/math]

(non vi sono asintoti obliqui).

6. Studio della positività di f':

[math]f'(x)=-\left(x-(2-\sqrt{5})\right)\left(x-(2+\sqrt{5})\right)e^{-x}[/math]

.
Discorso analogo fatto per lo studio della positività di f. In questo caso, a conti fatti, si ha

[math]f'(x)>0 \; \Leftrightarrow \; 2-\sqrt{5} 3+\sqrt{6}[/math]

e quindi segue che in tali intervalli f presenta concavità verso il basso (verso l'alto altrove). Nei punti di coordinate

[math]\left(3\pm\sqrt{6}, \; f(3\pm \sqrt{6})\right)[/math]

in cui f cambia concavità sono presenti due punti di flesso obliquo.


8. Grafico di f:


Se non fosse chiaro qualcosa chiedi pure. ;)

[Angel]

Ho fatto un paio di errori veramente tonti! Grazie mille =)