Grafico funzione esponenziale?
Un esercizio del mio libro di matematica propone il grafico di 2 funzioni, ottenute dalla traslazione di funzioni esponenziali.
la prima è $ y=sqrt(2^x-1) $
la seconda è $ y=1/(2^x-1) $
Non riesco a capire come rappresentarle graficamente (se non procedendo con i punto notevoli, calcolandoli).
La prima ho provato a vederla anche come $ x=log2((1+y)/y)=log2(1+y)-log2(y) $ ma non mi ha aiutato. Suggerimenti?
la prima è $ y=sqrt(2^x-1) $
la seconda è $ y=1/(2^x-1) $
Non riesco a capire come rappresentarle graficamente (se non procedendo con i punto notevoli, calcolandoli).
La prima ho provato a vederla anche come $ x=log2((1+y)/y)=log2(1+y)-log2(y) $ ma non mi ha aiutato. Suggerimenti?
Risposte
secondo me non è corretto parlare di traslazione
ad ogni modo,posto $z=2^x-1$,riconduciti alle funzioni $y=sqrtz$ e $y=1/z$
ad ogni modo,posto $z=2^x-1$,riconduciti alle funzioni $y=sqrtz$ e $y=1/z$
Ciao
non è diversa da tutte le altre funzioni
1) per prima cosa determina il dominio quindi, avendo una radice imponi che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero
quindi $2^x-1>=0 -> 2^x>=1$
per eliminare l'esponenziale prendi il logaritmo in base 2 da entrambe le parti
$x >=log_2 1-> x>= 0$
2) intersezione con gli assi
$2^x-1=0 ->2^x=1->x=0$
quindi abbiamo un funzione che parte da zero (non esiste per $x<0$) e poi è sempre positiva senza intersecare più l'asse orizzontale ne verticale
3) adesso vediamo come si comporta per $x->oo$
$lim_(x->oo) 2^x-1 =2^oo-1=oo-1=oo$
4) siccome il limite tende ad infinito deduci 2 cose:
- la prima è che non hai asintoti orizzontali
- la seconda che potresti avere asintoti verticali o obliqui nella forma $mx+q$
per capirlo vediamo se esiste
$lim_(x->oo) f(x)/x $ per trovare $m$
$lim_(x->oo) (2^x-1)/x = lim_(x->oo) (2^x)/x - lim_(x->oo) 1/x $
il secondo limite è banale e vale $0$
il primo è un pochino più complicato ma ci si arriva. Ci sono due modi per calcolarlo:
- il primo metodo consiste del veder che sia il numeratore che il denominatore tendono ad infinito, quindi saremmo in presenza di una forma indeterminata del tipo $oo/oo$, ma in realtà abbiamo che il numeratore tende ad $oo$ molto più velocemente del denominatore, quindi in realtà il limite darebbe come risultato $0$
- il secondo metodo è meno intuitivo e più rigoroso (Credo)
il limite ti da una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ ma dato che sia il numeratore che il denominatore sono forme funzioni continue e derivabili, puoi applicare "de l'Hopital" quindi
$lim_(x->oo) (2^x)/x = lim_(x->oo) (ln(2) \cdot 2^x)/1 =lim_(x->oo) (ln(2) \cdot 2^x) = oo $
quindi non ci sono asintoti obliqui ne verticali
5) vediamo adesso il segno della derivata
$f'(x) = ln(2) 2^(x-1)/sqrt(2^x-1)$
sia il numeratore che il denominatore sono sempre positivi all'interno del dominio della funzione non derivata, quindi la funzione cresce sempre all'interno del suo dominio
6) vediamo adesso la concavità della funzione quindi studiamo il segno della derivata seconda
$f''(x) = (2^x-2)(2^(x-2))ln^2(2)/(2^x-1)^(3/2)$
a questo punto hai che $ln^2(2)$ non influisce nel segno della derivata seconda
studi il segno dei singoli elementi quindi
$(2^x-2)>0->2^x>2->x>log_2 (2)->x>1$
$2^(x-2)>0$ sempre verificata
$(2^x-1)^(3/2)>0$
per tanto la derivata seconda è negativa per $x<1$ e positiva per $x>1$ quindi la tua funzione avrà concavità rivolta verso il basso per $x<1$ e concavità rivolta verso l'alto per $x>1$
il punto esatto in cui cambia la concavità è $x=1$ quindi
$y= sqrt(2^1-1) = sqrt(1) = 1$
a questo punto hai tutto quello che serve per disegnare il tuo grafico
spero di esserti stato di aiuto
Se hai dubbi chiedi pure
Saluti
non è diversa da tutte le altre funzioni
1) per prima cosa determina il dominio quindi, avendo una radice imponi che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero
quindi $2^x-1>=0 -> 2^x>=1$
per eliminare l'esponenziale prendi il logaritmo in base 2 da entrambe le parti
$x >=log_2 1-> x>= 0$
2) intersezione con gli assi
$2^x-1=0 ->2^x=1->x=0$
quindi abbiamo un funzione che parte da zero (non esiste per $x<0$) e poi è sempre positiva senza intersecare più l'asse orizzontale ne verticale
3) adesso vediamo come si comporta per $x->oo$
$lim_(x->oo) 2^x-1 =2^oo-1=oo-1=oo$
4) siccome il limite tende ad infinito deduci 2 cose:
- la prima è che non hai asintoti orizzontali
- la seconda che potresti avere asintoti verticali o obliqui nella forma $mx+q$
per capirlo vediamo se esiste
$lim_(x->oo) f(x)/x $ per trovare $m$
$lim_(x->oo) (2^x-1)/x = lim_(x->oo) (2^x)/x - lim_(x->oo) 1/x $
il secondo limite è banale e vale $0$
il primo è un pochino più complicato ma ci si arriva. Ci sono due modi per calcolarlo:
- il primo metodo consiste del veder che sia il numeratore che il denominatore tendono ad infinito, quindi saremmo in presenza di una forma indeterminata del tipo $oo/oo$, ma in realtà abbiamo che il numeratore tende ad $oo$ molto più velocemente del denominatore, quindi in realtà il limite darebbe come risultato $0$
- il secondo metodo è meno intuitivo e più rigoroso (Credo)
il limite ti da una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ ma dato che sia il numeratore che il denominatore sono forme funzioni continue e derivabili, puoi applicare "de l'Hopital" quindi
$lim_(x->oo) (2^x)/x = lim_(x->oo) (ln(2) \cdot 2^x)/1 =lim_(x->oo) (ln(2) \cdot 2^x) = oo $
quindi non ci sono asintoti obliqui ne verticali
5) vediamo adesso il segno della derivata
$f'(x) = ln(2) 2^(x-1)/sqrt(2^x-1)$
sia il numeratore che il denominatore sono sempre positivi all'interno del dominio della funzione non derivata, quindi la funzione cresce sempre all'interno del suo dominio
6) vediamo adesso la concavità della funzione quindi studiamo il segno della derivata seconda
$f''(x) = (2^x-2)(2^(x-2))ln^2(2)/(2^x-1)^(3/2)$
a questo punto hai che $ln^2(2)$ non influisce nel segno della derivata seconda
studi il segno dei singoli elementi quindi
$(2^x-2)>0->2^x>2->x>log_2 (2)->x>1$
$2^(x-2)>0$ sempre verificata
$(2^x-1)^(3/2)>0$
per tanto la derivata seconda è negativa per $x<1$ e positiva per $x>1$ quindi la tua funzione avrà concavità rivolta verso il basso per $x<1$ e concavità rivolta verso l'alto per $x>1$
il punto esatto in cui cambia la concavità è $x=1$ quindi
$y= sqrt(2^1-1) = sqrt(1) = 1$
a questo punto hai tutto quello che serve per disegnare il tuo grafico
spero di esserti stato di aiuto
Se hai dubbi chiedi pure
Saluti
ok, ma una volta condottomi alle forme da te suggerite, non saprei cosa fare, anche considerando che la radice quadrata non è una funzione lineare, così come una iperbole
Ok, grazie mille! 
per la seconda funzione applica lo stesso ragionamento
ad occhio è anche più semplice della prima;
Si deduce immediatamente sia il dominio che gli asintoti
ad occhio è anche più semplice della prima;
Si deduce immediatamente sia il dominio che gli asintoti
"Maschinna":
ok, ma una volta condottomi alle forme da te suggerite, non saprei cosa fare, anche considerando che la radice quadrata non è una funzione lineare, così come una iperbole
tenendo conto del fatto che la funzione $z=2^x-1$ è strettamente crescente e che il suo codominio è $(-1,+infty)$,francamente non mi sembra così difficile ricavare i grafici delle funzioni assegnate
Ciao Maschinna!
Per completare la ottima analisi di Summerwind ti allego i due grafici
Detta in parole povere per fare il grafico di una funzione è necessario uno studio completo della stessa, come ti ha fatto Summerwind... è una cosa relativamente complessa, di solito la si studia al 1 anno di università o in 5 liceo scientifico, è un argomento chiave della matematica non la si spiega in 5 minuti, è una cosa che si apprende a fare dopo mesi di studio
ciao!
Per completare la ottima analisi di Summerwind ti allego i due grafici
Detta in parole povere per fare il grafico di una funzione è necessario uno studio completo della stessa, come ti ha fatto Summerwind... è una cosa relativamente complessa, di solito la si studia al 1 anno di università o in 5 liceo scientifico, è un argomento chiave della matematica non la si spiega in 5 minuti, è una cosa che si apprende a fare dopo mesi di studio
ciao!
Grafico della seconda funzione, che ti serve solo come controllo finale, prima la devi studiare per bene
a me sembra di capire,dal tipo di esercizio proposto,che maschinna frequenti la quarta classe e non la quinta
se è così,la risoluzione proposta dagli altri utenti non ha molto senso perchè in quarta non si fa lo studio di funzione dettagliato
se invece maschinna frequenta la quinta,ritiro tutto quello che ho detto nelle righe precedenti
se è così,la risoluzione proposta dagli altri utenti non ha molto senso perchè in quarta non si fa lo studio di funzione dettagliato
se invece maschinna frequenta la quinta,ritiro tutto quello che ho detto nelle righe precedenti
"quantunquemente":
a me sembra di capire,dal tipo di esercizio proposto,che maschinna frequenti la quarta classe e non la quinta
se è così,la risoluzione proposta dagli altri utenti non ha molto senso perchè in quarta non si fa lo studio di funzione dettagliato
se invece maschinna frequenta la quinta,ritiro tutto quello che ho detto nelle righe precedenti
Veramente io al liceo scientifico, ho fatto trigonometria i terza, studio di funzione dettagliato in quarta, e integrali definiti indefiniti e improprio, sviluppi di taylor e un po' di altre cose interessanti in quinta
"Summerwind78":
Veramente io al liceo scientifico, ho fatto trigonometria i terza, studio di funzione dettagliato in quarta, e integrali definiti indefiniti e improprio, sviluppi di taylor e un po' di altre cose interessanti in quinta
buon per te,si vede che frequenti un liceo scientifico al di fuori del comune
ahahah ormai è ben datato il mio liceo scientifico... si parla del lontano periodo 1992-1997
cioè,tu ,quasi venti anni fa hai studiato in quarta liceo i limiti,le derivate,etc...
che dire,sono sempre più esterrefatto
che dire,sono sempre più esterrefatto
Sì, quantunque, sono in IV scientifico. L'esercizio richiedeva il disegno delle funzioni partendo da funzioni esponenziali (il capitolo è esponenziali e logaritmi). Tuttavia, mi sono portato un po' avanti con lo studio di funzioni (limiti, derivate e integrali), quindi mi è stato utile lo studio di funzioni propostomi dagli altri utenti. Grazie a tutti lo stesso
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