Grafico Funzione e integrali definiti
Buongiorno,
mi chiamo Giovanni, frequento l'ultimo anno di L.S. Scienze applicate.
Abbiamo studiato gli integrali definiti e stiamo svolgendo una serie di esercizi in vista dell'esame.
Vi sottopongo un esercizio con il quale sto avendo difficoltà, sperando di capire meglio quale approccio prendere di fronte a esercizi di questo tipo.
Grazie.
Giovanni
Nella figura è riportato il grafico della derivata f′ di una funzione f, che ha dominio [0; 6] e ammette derivata prima e derivata seconda. Tale grafico presenta in particolare due punti, di ascisse 2 e 4, a tangente orizzontale.
È inoltre noto che:
• $int_0^6$ f′(x)dx = −5;
• f(0) = 9;
• f(3) = 6;
• f(5) = 3.
Tracciare il grafico della funzione f, dopo aver determinato le ascisse dei suoi punti di minimo
assoluto, massimo assoluto e flesso.
Ecco la risposta [minimo assoluto in x = 5, massimo assoluto in x = 0, flessi in x = 2 e in x = 4]
Risposte
Cominciando dall'inizio, si ha (dai dati) che $f(0) = 9$, e guardando il grafico di $F'$ si vede che la pendenza iniziale è $-3$ (ossia le funzione è discendente) e la pendenza cresce (nel senso che da negativa che è si avvicina a zero), azzerandosi per $x = 2$, ossia la funzione F ha tangente orizzontale in $x = 2$. Aumentando x, la pendenza torna negativa, ossia la funzione torna a scendere, ossia $x = 2$ è un flesso orizzontale (la funzione scende prima e anche dopo). In $x = 3$ sappiamo che $F(3) = 6$, ossia la discesa fra 0 e 3 è 9 - 6 = 3: Ciò significa che l'area compresa fra la funzione $F'$ e l'asse x, fra le ascisse 0 e 3, vale -3 (meno, perchè sta sotto l'asse x).
Eccetera...
Eccetera...
@mgrau
[ot]Prima, lasciagli esporre le sue idee e le sue difficoltà
[/ot]
[ot]Prima, lasciagli esporre le sue idee e le sue difficoltà
[/ot]
@axpgn[ot]Certo, in linea di massima. Ma nel caso, ho avuto l'impressione che l'OP non sapesse proprio da che parte cominciare[/ot]
@mgrau
[ot]Capisco e condivido anche ma proprio perché in difficoltà sarebbe utile capire cosa sa e cosa invece gli manca, così da rispondere con maggior efficacia ... IMHO[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Capisco e condivido anche ma proprio perché in difficoltà sarebbe utile capire cosa sa e cosa invece gli manca, così da rispondere con maggior efficacia ... IMHO[/ot]
Cordialmente, Alex
"mgrau":
@axpgn[ot]Certo, in linea di massima. Ma nel caso, ho avuto l'impressione che l'OP non sapesse proprio da che parte cominciare[/ot]
Sì, grazie... in effetti è così.
Volevo proprio capire in che modo approcciare esercizi di questo tipo.
Giovanni
"giovanni.radice00":
Volevo proprio capire in che modo approcciare esercizi di questo tipo.
Ponendoti le domande giuste.
E se capita che non sai rispondere ad una domanda, allora significa che non ti è chiaro un concetto e saprai dove guardare.
Ti metto qualche domanda:
1) quali sono i punti critici di una funzione (dimmi com'è definito un punto critico e quante tipologie conosci)
2) cosa significano le coordinate dei punti in figura?
3) cosa significa $int_a^b f'(x) dx$ ? Dovresti indicare il teorema
"Bokonon":
[quote="giovanni.radice00"]
Volevo proprio capire in che modo approcciare esercizi di questo tipo.
Ponendoti le domande giuste.
E se capita che non sai rispondere ad una domanda, allora significa che non ti è chiaro un concetto e saprai dove guardare.
Ti metto qualche domanda:
1) quali sono i punti critici di una funzione (dimmi com'è definito un punto critico e quante tipologie conosci)[/quote]
I punti critici o stazionari di una funzione sono i punti in cui la derivata si azzera e corrispondo ai punti di massimo, minino, flessi, flessi a tg orizzontale, ecc.
2) cosa significano le coordinate dei punti in figura?
Se ho ben capito la domanda, i punti in figura in cui la derivata si azzera corrispondo ai massimi o minimi della mia funzione e dove la curva ha un massimo e un minimo vuole dire che la derivata seconda si azzera e quindi la mia funzione ha dei flessi in quei punti. Mi confondo perché in questa figura, per esempio, il punto (2;0) dovrebbe essere un punti di max o min per la funzione ma anche di flesso perché è un punto di massimo della curva che è una derivata della mia funzione. E' possibile?
3) cosa significa $int_a^b f'(x) dx$ ? Dovresti indicare il teorema
E' il teorema fondamentale del calcolo integrale? Sono dubbioso perché non ho mai visto questa formula di integrazione, nel senso che il nostro professore ci ha spiegato il teorema con una formula diversa. Conosco abbastanza gli integrali ma, come puoi capire, i grafici qualitativi mi confondono.
Grazie.
Giovanni
La risposta alla prima domanda è perfetta.
Pertanto la prima cosa da fare è identificare i punti critici...e poi capire a cosa corrispondono.
I punti in questione sono (2,0) e (5,0).
La risposta alla seconda domanda invece è un poco confusa. Le ordinate rappresentano il coefficiente angolare della tangente (=pendenza) alla primitiva nel punto f(x) (stessa ascissa).
Per questo i due punti sopra citati ci dicono che la pendenza è zero, quindi la tangente alla f(x) in quei due punti è orizzontale e quindi rappresentano due punti critici.
Ma di che tipo sono? E qui arriva un'altra domanda: cosa sono i punti di flesso? E in che relazione stanno con la primitiva?
Ora intanto possiamo vedere che la nostra f(x) inizia con pendenza -3, quindi scende...e continua a scendere ma con una pendenza meno accentuata -1 (ovvero nel secondo punto la pendenza ha un angolo di -45°).
Poi continua a scendere e la pendenza va a zero. Ma poi riprende a scendere sempre più rapidamente...
Questo dovrebbe già suggerirti che tipo di punto è (2,0) per la nostra primitiva. Ma vorrei che lo giustificassi rispondendo alla domanda precedente e guardando il grafico della derivata.
Prima del punto (5,0) invece, la pendenza è negativa -2, poi diventa zero e infine diventa positiva +2.
Si vede chiaramente dal grafico che le ordinate passano da negative a positive. Ora, se abbiamo un punto critico di cui sappiamo che la f(x) prima scende e poi sale, che tipo di punto critico sarà mai?
La risposta alla terza domanda è esatta. Il teorema fondamentale del calcolo integrale: la seconda parte, per essere precisi. Quindi $int_a^b f'(x) dx=f(b)-f(a)$
Nota che ci hanno fornito alcuni valori della f(x) ma non tutti. Possiamo sfruttare il TFdCI per determinare gli altri? Cominciamo con $f(6)=?$ Pensaci.
Pertanto la prima cosa da fare è identificare i punti critici...e poi capire a cosa corrispondono.
I punti in questione sono (2,0) e (5,0).
La risposta alla seconda domanda invece è un poco confusa. Le ordinate rappresentano il coefficiente angolare della tangente (=pendenza) alla primitiva nel punto f(x) (stessa ascissa).
Per questo i due punti sopra citati ci dicono che la pendenza è zero, quindi la tangente alla f(x) in quei due punti è orizzontale e quindi rappresentano due punti critici.
Ma di che tipo sono? E qui arriva un'altra domanda: cosa sono i punti di flesso? E in che relazione stanno con la primitiva?
Ora intanto possiamo vedere che la nostra f(x) inizia con pendenza -3, quindi scende...e continua a scendere ma con una pendenza meno accentuata -1 (ovvero nel secondo punto la pendenza ha un angolo di -45°).
Poi continua a scendere e la pendenza va a zero. Ma poi riprende a scendere sempre più rapidamente...
Questo dovrebbe già suggerirti che tipo di punto è (2,0) per la nostra primitiva. Ma vorrei che lo giustificassi rispondendo alla domanda precedente e guardando il grafico della derivata.
Prima del punto (5,0) invece, la pendenza è negativa -2, poi diventa zero e infine diventa positiva +2.
Si vede chiaramente dal grafico che le ordinate passano da negative a positive. Ora, se abbiamo un punto critico di cui sappiamo che la f(x) prima scende e poi sale, che tipo di punto critico sarà mai?
La risposta alla terza domanda è esatta. Il teorema fondamentale del calcolo integrale: la seconda parte, per essere precisi. Quindi $int_a^b f'(x) dx=f(b)-f(a)$
Nota che ci hanno fornito alcuni valori della f(x) ma non tutti. Possiamo sfruttare il TFdCI per determinare gli altri? Cominciamo con $f(6)=?$ Pensaci.
Buongiorno.
Mi scuso per il ritardo.
Io credo di avere capito alcuni punti importanti, ma continuo ad avere difficoltà nel disegnare la funzione richiesta.
Mi spiego.
La mia funzione passa per i punti (0;9), (3;6), (5;3), nei punti (2;0) e (5;0), dovrebbe avere dei flessi a tangente orizzontale perché la derivata prima si azzera... malgrado questo io non so disegnarla e questo mi sconforta.
potessi avere un vostro disegno potrei capire meglio credo, potete aiutarmi?
Giovanni
Mi scuso per il ritardo.
Io credo di avere capito alcuni punti importanti, ma continuo ad avere difficoltà nel disegnare la funzione richiesta.
Mi spiego.
La mia funzione passa per i punti (0;9), (3;6), (5;3), nei punti (2;0) e (5;0), dovrebbe avere dei flessi a tangente orizzontale perché la derivata prima si azzera... malgrado questo io non so disegnarla e questo mi sconforta.
potessi avere un vostro disegno potrei capire meglio credo, potete aiutarmi?
Giovanni
Per $x=5$ la derivata prima si annulla e cambia segno, quindi il punto $(5;3)$ è un punto di ....
In $x=2$ e in $x=4$ si annulla la derivata seconda, quindi ...
E poi ti manca anche il valore assunto dalla funzione in $6$, che ottieni con l'applicazione del teorema fondamentale del calcolo integrale.
In $x=2$ e in $x=4$ si annulla la derivata seconda, quindi ...
E poi ti manca anche il valore assunto dalla funzione in $6$, che ottieni con l'applicazione del teorema fondamentale del calcolo integrale.
Grazie per l'aiuto.
Ho capito meglio come procedere al grafico qualitativo della funzione.
Giovanni
Ho capito meglio come procedere al grafico qualitativo della funzione.
Giovanni
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