Grafico funzione

[angela.russotto]

Discuti graficamente, al variare di k reale, il numero delle soluzioni dell' equazione $ 3/2 \sqrt{4x-x^2}=x+k $
Il grafico dovrebbe rappresentare almeno in parte un ellisse, ho provato con il completamento del quadrato ma niente.

[axpgn]

Disegna il membro di sinistra, il cui dominio è $0<=x<=4$; in pratica è una parabola rivolta verso il basso e il cui massimo è nel punto $x=2$ e che vale zero nei punti $x=0$ e $x=4$.
L'altro membro è una retta, in pratica la bisettrice del primo quadrante alzato o abbassata da $k$
Adesso è facile vedere che per $k< -4$ non ci sono soluzioni, per $k=-4$ c'è n'è una, per $k> -4$ c'è ne sono due fino al punto di tangenza e nessuna oltre.

IMHO

[angela.russotto]

No, la soluzione del libro prevede come punto critico ad esempio $ k=sqrt { 13} - 2 $

[Noodles1]

"axpgn":
... è una parabola ...

Veramente:

$y=3/2sqrt(4x-x^2)$

non è una parabola:

$\{(y^2=-9/4x^2+9x),(y gt= 0):} rarr \{((x-2)^2/4+y^2/9=1),(y gt= 0):}$

Piuttosto, una semiellisse di centro:

$(2,0)$

e assi paralleli agli assi cartesiani. Inoltre, la condizione:

$4x-x^2 gt= 0$

scaturendo in modo naturale, è del tutto superflua.

"zaser123":
Discuti graficamente ...

Non ti resta che discutere le ascisse dei punti di intersezione tra la semiellisse di cui sopra e il fascio di rette:

$y=x+k$

parallele alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante.

[axpgn]

Sì non è una parabola ma in pratica non cambia nulla; non ho capito cosa intendi per "scaturendo in modo naturale " ...

@zaser
Ieri sono andato un po' di corsa, ricapitolo ...

$k< -4$ : nessuna soluzione

$-4<=k<0$ : una soluzione

Per $k>=0$ e fino al punto di tangenza escluso: due soluzioni

Al punto di tangenza: una soluzione

Oltre: nessuna soluzione

Giusto?

[Noodles1]

"axpgn":
... cosa intendi per "scaturendo in modo naturale " ...

Quando si traccia:

$(x-2)^2/4+y^2/9=1$

i punti appartenenti all'ellisse hanno necessariamente:

$0 lt= x lt= 4$

Del resto:

$y=3/2sqrt(4x-x^2) rarr \{(4x-x^2 gt= 0),(y gt= 0),(y^2=9/4(4x-x^2)):} rarr \{(y gt= 0),(y^2=9/4(4x-x^2)):}$

perchè le soluzioni:

$(x,y)$

dell'equazione (il secondo membro deve essere uguale al quadrato che compare a primo membro) soddisfano necessariamente la prima disequazione.

[axpgn]

Ok, però lo sai "dopo" mentre determinare subito il C.E. (che è quasi immediato nel caso in questione) ti "aiuta" anche a "graficare".
Comunque, de gustibus

[Noodles1]

In effetti, dopo averne visti anche troppi.

[angela.russotto]

Grazie. Avevo seguito lo stesso procedimento, ma consideravo i due punti di tangenza della ellisse, trascurando che avrei dovuto riferirmi alla semiellisse.