Grafico di una funzione (80188)
Data la parabola di equazione
- allora dopo aver trovato i corrispettivi parametri a e b , a =6/5 b=4/5 .. li ho sostituiti nella funzione parametriche... ho disegnato essa (con derive)... poi per disegnare la sua tangente ho usato y-y0=m(x-x0).. sostituendo ad m il numero 2 (trovato dai calcoli) e sostituendo a x0 e y0 il punto P(-1,2) e ho disegnato il suo punto di ascissa x=1... la retta tangente passa sopra la parabola... ho fatto bene il grafico?.. perchè se è tangente la retta mi "taglia" la parabola?
[math]y=2ax^2-(3a-b)x-4b[/math]
, determina a e b in modo che la retta a essa tangente nel suo punto di ascissa x=1 sia parallela alla retta passante per i punti A(3,5) e B(1,1) e passi per il punto P (-1,2).- allora dopo aver trovato i corrispettivi parametri a e b , a =6/5 b=4/5 .. li ho sostituiti nella funzione parametriche... ho disegnato essa (con derive)... poi per disegnare la sua tangente ho usato y-y0=m(x-x0).. sostituendo ad m il numero 2 (trovato dai calcoli) e sostituendo a x0 e y0 il punto P(-1,2) e ho disegnato il suo punto di ascissa x=1... la retta tangente passa sopra la parabola... ho fatto bene il grafico?.. perchè se è tangente la retta mi "taglia" la parabola?
Risposte
Guarda che hai i parametri a e b errati (... se non ho preso un abbaglio!).
Allora, la retta tangente è parallela ad una retta passante per i punti A e B dati, quindi il suo coefficiente angolare sarà:
m = (y2-y1)/(x2-x1) = (5-1)/(3-1) = 4/2 = 2
Quindi la tangente avrà una formula generica: y = 2x + q
Per trovare q ci affidiamo al punto P (-1,2) e sostituiamo questi valori nella suddetta formula:
2 = 2(-1) + q, da cui q = 2 + 2 = 4
La nostra tangente avrà quindi equazione y = 2x + 4.
Per trovare i valori a e b da dare all'equazione della parabola affinchè nel punto di ascissa x = 1 abbia, come tangente, la retta appena trovata, troviamo la derivata prima della parabola che e la eguagliamo, per x=1, al coefficiente angolare della retta:
y'= 4ax - 3a +b
y'(1) = 4a - 3a + b = 2
y'(1) = a + b = 2
Nel punto x=1, la nostra retta assumerà, come valore di y, il seguente:
y(1) retta = 2(1) + 4 = 6
Essendo tangente alla parabola, anche la parabola, in questo punto, avrà valore pari a 6, quindi:
y(1) parabola = 2a - 3a + b - 4b = 6
y(1) parabola = -a - 3b = 6
Mettiamo a sistema la derivata prima calcolata per x = 1 e la funzione della parabola calcolata sempre per x = 1:
a + b = 2
-a - 3b = 6
Dalla prima calcoliamo a = 2 - b e la sostituiamo nella seconda
-2 + b - 3b = 6
-2b = 8, da cui b = -4
Sostituiamo questo valore nella prima e otteniamo:
a + (-4) = 2, da cui a = 6
Quindi la funzione della parabola per avere come tangente, nel punto x = 1, la retta y = 2x + 4 sarà:
y parabola = 12x^2 - 22x + 16
Prova a disegnare il grafico di questa e della retta tangente e vedi se così ti torna.
Saluti, Massimiliano
Aggiunto 24 minuti più tardi:
Questo è il grafico che risulta a me:
Allora, la retta tangente è parallela ad una retta passante per i punti A e B dati, quindi il suo coefficiente angolare sarà:
m = (y2-y1)/(x2-x1) = (5-1)/(3-1) = 4/2 = 2
Quindi la tangente avrà una formula generica: y = 2x + q
Per trovare q ci affidiamo al punto P (-1,2) e sostituiamo questi valori nella suddetta formula:
2 = 2(-1) + q, da cui q = 2 + 2 = 4
La nostra tangente avrà quindi equazione y = 2x + 4.
Per trovare i valori a e b da dare all'equazione della parabola affinchè nel punto di ascissa x = 1 abbia, come tangente, la retta appena trovata, troviamo la derivata prima della parabola che e la eguagliamo, per x=1, al coefficiente angolare della retta:
y'= 4ax - 3a +b
y'(1) = 4a - 3a + b = 2
y'(1) = a + b = 2
Nel punto x=1, la nostra retta assumerà, come valore di y, il seguente:
y(1) retta = 2(1) + 4 = 6
Essendo tangente alla parabola, anche la parabola, in questo punto, avrà valore pari a 6, quindi:
y(1) parabola = 2a - 3a + b - 4b = 6
y(1) parabola = -a - 3b = 6
Mettiamo a sistema la derivata prima calcolata per x = 1 e la funzione della parabola calcolata sempre per x = 1:
a + b = 2
-a - 3b = 6
Dalla prima calcoliamo a = 2 - b e la sostituiamo nella seconda
-2 + b - 3b = 6
-2b = 8, da cui b = -4
Sostituiamo questo valore nella prima e otteniamo:
a + (-4) = 2, da cui a = 6
Quindi la funzione della parabola per avere come tangente, nel punto x = 1, la retta y = 2x + 4 sarà:
y parabola = 12x^2 - 22x + 16
Prova a disegnare il grafico di questa e della retta tangente e vedi se così ti torna.
Saluti, Massimiliano
Aggiunto 24 minuti più tardi:
Questo è il grafico che risulta a me:
mi dispiace ma avrai preso un abbaglio i miei calcoli sono giusti e nè ho la prova siccome ho le soluzioni dei parametri a e b...per trovare essi bisogna mettere a sistema due equazioni date da
1. sostituendo il punto P (quindi corrispettive x e y )nell'equazione della parabola
2. sostituendo alla derivata dell'equazione della parabola il punto di ascissa x=1 e e ponendola uguale al coefficiente angolare m=2...
anche il libro mi da a=6/5 b=4/5
1. sostituendo il punto P (quindi corrispettive x e y )nell'equazione della parabola
2. sostituendo alla derivata dell'equazione della parabola il punto di ascissa x=1 e e ponendola uguale al coefficiente angolare m=2...
anche il libro mi da a=6/5 b=4/5
Eppure, Aneres, anche io ho provato ad eseguire l'esercizio e mi tornano gli stessi risultati di Massimiliano.
Ho anche provato ad eseguire l'esercizio utilizzando un procedimento differente, senza derive e derivate, e anche così torna il medesimo risultato di Massimiliano. E' un po' più lungo, ma valeva la pena controllare.
Te lo posto qui di seguito, se vuoi, così lo puoi leggere e valutare:
Innanzi tutto, io determinerei l'equazione delle retta passante per i punti
A(3,5) e B(1,1).
Essa avrà equazione generica y=mx+n.
m ed n possono essere determinati grazie alla conoscenza dei due punti appartenenti alla retta. Se A e B appartengono alla retta, infatti, le loro coordinate, inserite nell'equazione della retta, dovranno comunque rispettarne l'uguaglianza.
1) La retta passa per A(3,5), quindi
2) La retta passa per B(1,1), quindi
Sostituisco la seconda equazione nella prima. Diventa:
L'equazione è dunque:
Disegniamo questa retta, grazie ai punti A e B sul piano cartesiano, giacchè si sa che per due punti passa una ed una sola retta.
Essa passa per il primo, il terzo e il quarto quadrante, e taglia gli assi nei punti:
1)
2)
Ora, la retta che è tangente alla parabola, deve essere parallela a questa, e deve passare per il punto P(-1,2).
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare (cioè m).
Quindi la retta che cerchiamo ha equazione:
n viene trovato sostituendo ad x ed y le coordinate di P.
L'equazione finale è dunque
Disegniamo questa retta, sapendo che essa deve passare per il punto P e deve essere parallela alla prima retta tracciata.
Essa passa per il primo, il secondo e il terzo quadrante, e taglia gli assi nei punti:
1)
2)
Trovata la retta, sappiamo che essa dovrà essere tangente alla parabola.
Se mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della parabola, sarà possibile determinare dove retta e parabola si tagliano reciprocamente.
Affinchè esse siano tangenti, occorre dunque che si tocchino in un punto solo (altrimenti sono secanti). Questo accade se la soluzione del sistema è unica. Questo a sua volta accade quando il determinante dell'equazione di secondo grado che deriva dal mettere a sistema le due equazioni risulta pari a 0.
Abbiamo dunque:
Abbiamo che:
Sostituisco questo risultato nell'equazione del determinante.
Risolviamo l’equazione:
Se
Se
Questa seconda soluzione non può essere: altrimenti l’equazione della parabola si trasforma in quella di una retta!
Con i parametri
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Spero che questa soluzione che ti ho postato ti sia utile!
Intanto, però, do il mio voto a Max, perchè è stato veramente bravo, e anche veloce nell'esecuzione. Se lo merita proprio!
Ciao, Aneres! Facci sapere!
Ho anche provato ad eseguire l'esercizio utilizzando un procedimento differente, senza derive e derivate, e anche così torna il medesimo risultato di Massimiliano. E' un po' più lungo, ma valeva la pena controllare.
Te lo posto qui di seguito, se vuoi, così lo puoi leggere e valutare:
Innanzi tutto, io determinerei l'equazione delle retta passante per i punti
A(3,5) e B(1,1).
Essa avrà equazione generica y=mx+n.
m ed n possono essere determinati grazie alla conoscenza dei due punti appartenenti alla retta. Se A e B appartengono alla retta, infatti, le loro coordinate, inserite nell'equazione della retta, dovranno comunque rispettarne l'uguaglianza.
1) La retta passa per A(3,5), quindi
[math]5=3m +n[/math]
2) La retta passa per B(1,1), quindi
[math]1 = m +n[/math]
, perciò [math]n= 1-m[/math]
Sostituisco la seconda equazione nella prima. Diventa:
[math]5= 3m + 1 -m[/math]
[math]5-1 = 3m - m[/math]
[math]4 = 2m[/math]
[math]m = 2.[/math]
[math]n= 1-m = 1-2 = -1.[/math]
L'equazione è dunque:
[math]y=2m-1[/math]
Disegniamo questa retta, grazie ai punti A e B sul piano cartesiano, giacchè si sa che per due punti passa una ed una sola retta.
Essa passa per il primo, il terzo e il quarto quadrante, e taglia gli assi nei punti:
1)
[math]y=0[/math]
allora [math]x = 1/2[/math]
2)
[math]x =0[/math]
allora [math]y = -1[/math]
Ora, la retta che è tangente alla parabola, deve essere parallela a questa, e deve passare per il punto P(-1,2).
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare (cioè m).
Quindi la retta che cerchiamo ha equazione:
[math]y=2x+n[/math]
.n viene trovato sostituendo ad x ed y le coordinate di P.
[math]2=-2+n[/math]
[math]2+2 = n[/math]
[math]n=4[/math]
L'equazione finale è dunque
[math]y=2x +4.[/math]
Disegniamo questa retta, sapendo che essa deve passare per il punto P e deve essere parallela alla prima retta tracciata.
Essa passa per il primo, il secondo e il terzo quadrante, e taglia gli assi nei punti:
1)
[math]y=0[/math]
allora [math]x = 1-2[/math]
2)
[math]x =0[/math]
allora [math]y = 4[/math]
Trovata la retta, sappiamo che essa dovrà essere tangente alla parabola.
Se mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della parabola, sarà possibile determinare dove retta e parabola si tagliano reciprocamente.
Affinchè esse siano tangenti, occorre dunque che si tocchino in un punto solo (altrimenti sono secanti). Questo accade se la soluzione del sistema è unica. Questo a sua volta accade quando il determinante dell'equazione di secondo grado che deriva dal mettere a sistema le due equazioni risulta pari a 0.
Abbiamo dunque:
[math]y= 2ax^2 -(3a-b)x -4b[/math]
[math]y=2x+4[/math]
Abbiamo che:
[math]2x + 4 = 2ax^2 -(3a-b)x -4b[/math]
[math]0 = 2ax^2 -(3a-b)x -2x -4b -4[/math]
[math]2ax^2 +(-3a+b -2)x -4(b +1)=0[/math]
[math]Determinante = 0 = (-3a+b -2)^2 +4*2a*4(b+1) = [/math]
[math]= 9a^2 +b^2 + 4 -6ab -4b +12a + 32a(b+1)=[/math]
[math]= 9a^2 +b^2 + 4 -6ab -4b +12a + 32ab+32 a= [/math]
[math]= 9a^2 +b^2 + 4 +26ab -4b + 44 a= 0. [/math]
[math]x (=1) = -(-3a+b-2)/4a[/math]
[math]4a = (3a -b+2)[/math]
[math]4a -3a = -b+2[/math]
[math]a = -b+2 = 2-b[/math]
Sostituisco questo risultato nell'equazione del determinante.
[math] 9*(2-b)^2 +b^2 + 4 +26(2-b)b -4b + 44 (2-b) = 0[/math]
[math] 9*(4+b^2-4b) +b^2 + 4 +26(2-b)b -4b + 44 (2-b) = 0[/math]
[math] 36 +9b^2-36 b +b^2 + 4 +52b-26b^2 -4b +88-44b = 0[/math]
[math] 36 +9b^2-36 b +b^2 + 4 +52b-26b^2 -4b +88-44b = 0[/math]
[math] -16b^2 -32b +128= 0[/math]
[math] -b^2 -2b +8= 0[/math]
Risolviamo l’equazione:
[math]Determinante = 4+32 = 36[/math]
[math]B = (2 + o - 6)/-2 [/math]
[math]B = -4 oppure 2.[/math]
Se
[math]b = -4[/math]
allora [math]a= 2-b = 2+4 = 6[/math]
Se
[math]b = 2 [/math]
allora [math]a = 2-b = 0[/math]
.Questa seconda soluzione non può essere: altrimenti l’equazione della parabola si trasforma in quella di una retta!
Con i parametri
[math]a=6 [/math]
e [math]b=-4[/math]
, l'equazione della parabola diventa:[math]y = 12 x^2 -22x +16[/math]
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Spero che questa soluzione che ti ho postato ti sia utile!
Intanto, però, do il mio voto a Max, perchè è stato veramente bravo, e anche veloce nell'esecuzione. Se lo merita proprio!
Ciao, Aneres! Facci sapere!
vi ringrazio... se entrambi dite che è così..i parametri del libro saranno sbagliati anche se invece a me vengono uguali..ma fa nulla!..nel compito da consegnare metterò entrambe le soluzioni :) meglio 2 che 1 :) grazie mille!!.. domani metto un problema che invece non riesco proprio a uscirne fuori se magari ci date un'occhiata mi farebbe piacere! ciao e grazie ancora!
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