Grafico di funzione
Buon pomeriggio, vorrei chiedervi se potete spiegarmi con i passaggi come disegnare il grafico di queste due funzioni:
y=x^3e^-x
y= x^2/|x-2|
Grazie in anticipo
y=x^3e^-x
y= x^2/|x-2|
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao
il metodo è sempre lo stesso quando studi il grafico di una funzione.
1) determinare il campo di esistenza della funzione. In poche parole vedere se esistono (e in tal caso determinare quali sono) valori di $x$ che non sono accettabili.
I casi da considerare sono pochi:
1.a) quando hai una radice con indice pari, ciò che c'è sotto radice deve essere maggiore o uguale a $0$, non sono accettati valori negativi.
1.b) quando hai un logaritmo, l'argomento deve essere maggiore di zero (attenzione sono maggiore, non uguale!)
1.c) se hai delle frazione il denominatore non deve mai essere pari a $0$
in questo modo sai se hai dei valori di $x$ singoli o eventualmente intervalli di valori di $x$ che non devono essere utilizzati, escludendo pertanto porzioni di piano cartesiano in cui il grafico non esisterà.
2) studiare le intersezioni con gli assi, ovvero vedere se la funzione interseca o tange uno degli assi o entrambi.
Questo è abbastanza semplice: Per vedere le intersezioni con l'asse $x$ poni la tua $f(x) = 0$ e vedi per quali valori di $x$ questa equazione è verificata.
Per vedere le intersezioni con l'asse $y$ poni $x=0$ all'interno della tua $f(x)$ e vedi quali valori di $y$ ti vengono. Quelle saranno le tue intersezioni.
3) Studio il segno della funzione. Fino al punto 2) hai scoperto in quali punti viene intersecato o toccato l'asse $x$, adesso devi vedere per quali valori di $x$ la tua funzione si trova al di sopra dell'asse $x$ e per quali si trova al di sotto. Detto in termini meno pratici devi vedere per quali valori hai $f(x) >0$ e una volta trovati, per esclusione sai anche per quali valori hai che $f(x)<0$
4) Studio dei limiti.
abbiamo visto nel punto 1) che potrebbero esserci dei valori di $x$ che non puoi usare... Immaginiamo che ce ne sia uno, per esempio, che chiamiamo $a$. Sappiamo quindi che $x$ non assumerà mai un valore pari ad $a$. Dobbiamo quindi scoprire come si comporta la tua funzione quando la tua $x$ si avvicina tantissimo ad $a$.
La tua funzione può fare due cose:
4.a: tendere ad un valore finito. Quindi un numero ben definito.
4.b: tendere a $+oo$ oppure a $-oo$. In tal caso sarai in presenza dei cosiddetti asintoti verticali.
in gergo dovrai calcolare
$lim_(x->a^+) f(x)$
e
$lim_(x->a^-) f(x)$
i simboli "+" e "-" scritti come se fossero un esponente di $a$ stanno a significare rispettivamente $x$ che si avvicina ad $a$ arrivando da destra, e da sinistra.
devi inoltre studiare il comportamento della tua funzione quando $x$ tende a $-oo$ e quando tende a $+oo$. Anche in questo caso puoi ottenere 2 cose:
4.c: la funzione tende ad un volare finito. Siamo quindi in presenza di un asintoto orizzontale. Ovvero la tua funzione si avvicina sempre di più ad una retta
quindi avrai che
$lim_(x->oo) f(x) = k$ pertanto la tua funzione ha un asintoto orizzontale $y=k$
(stessa cosa da farsi per $x->-oo$)
4.d: la tua funzione può tendere ad infinito. In tal caso bisogna ancora valutare se siamo in presenza di un asintoto obliquo, ovvero se la tua funzione tende ad avvicinarsi ad una retta che non è orizzontale ma è appunto in obliquo rispetto all'asse $x$
per fare questo bisogna prima verificare se
$lim_(x->oo) f(x)/x = m$
ovvero tende ad un valore finito, e, nel caso esista $m$ allora vedere se esiste e quanto vale il limite
$lim_(x->oo) f(x)-mx = q$
se esiste il valore $q$ ed è un valore finito allora hai che la tua funzione tenderà ad avvicinarsi ad una retta di equazione
$y=mx+q$
tutto il ragionamento appena descritto per l'asintoto obliqui quando $x->oo$ lo devi fare anche per $x->-oo$
5) determinare dove la funzione cresce e dove decresce.
Per fare questo devi calcolarti $f'(x)$ ovvero la derivata prima di $f(x)$ e studiarne il segno (della derivata) come indicato nel punto 3) ma questa volta lo fai usando $f'(x)$ e non $f(x)$.
Quando la derivata è positiva la tua funzione cresce, quando è negativa decresce.
Se la derivata prima vale $0$ in un dato intervallo di valori di $x$ allora la tua funzione in quell'intervallo è una retta orizzontale.
6) Studio della concavità.
La tua funzione può crescere o decrescere. Quando per esempio cresce più farlo in due modi.
6.a: la funzione può crescere con la concavità verso l'alto
6.b: la funzione può crescere con la concavità verso il basso
nell'immagine che segue la linea rossa è un esempio di una funzione che cresce con concavità verso l'alto, mentre la linea blu è un esempio di funzione che cresce con concavità verso il basso.
Stesso identico discorso quando una funzione descresce
ci sarebbero ancora da fare delle considerazione quando hai la funzione con la derivata prima che cambia di segno in un punto ma non cambia la derivata seconda, ma te le risparmio per ora per non appesantire troppo la spiegazione
se hai ancora bisogno di aiuto chiedi pure
Ciao
il metodo è sempre lo stesso quando studi il grafico di una funzione.
1) determinare il campo di esistenza della funzione. In poche parole vedere se esistono (e in tal caso determinare quali sono) valori di $x$ che non sono accettabili.
I casi da considerare sono pochi:
1.a) quando hai una radice con indice pari, ciò che c'è sotto radice deve essere maggiore o uguale a $0$, non sono accettati valori negativi.
1.b) quando hai un logaritmo, l'argomento deve essere maggiore di zero (attenzione sono maggiore, non uguale!)
1.c) se hai delle frazione il denominatore non deve mai essere pari a $0$
in questo modo sai se hai dei valori di $x$ singoli o eventualmente intervalli di valori di $x$ che non devono essere utilizzati, escludendo pertanto porzioni di piano cartesiano in cui il grafico non esisterà.
2) studiare le intersezioni con gli assi, ovvero vedere se la funzione interseca o tange uno degli assi o entrambi.
Questo è abbastanza semplice: Per vedere le intersezioni con l'asse $x$ poni la tua $f(x) = 0$ e vedi per quali valori di $x$ questa equazione è verificata.
Per vedere le intersezioni con l'asse $y$ poni $x=0$ all'interno della tua $f(x)$ e vedi quali valori di $y$ ti vengono. Quelle saranno le tue intersezioni.
3) Studio il segno della funzione. Fino al punto 2) hai scoperto in quali punti viene intersecato o toccato l'asse $x$, adesso devi vedere per quali valori di $x$ la tua funzione si trova al di sopra dell'asse $x$ e per quali si trova al di sotto. Detto in termini meno pratici devi vedere per quali valori hai $f(x) >0$ e una volta trovati, per esclusione sai anche per quali valori hai che $f(x)<0$
4) Studio dei limiti.
abbiamo visto nel punto 1) che potrebbero esserci dei valori di $x$ che non puoi usare... Immaginiamo che ce ne sia uno, per esempio, che chiamiamo $a$. Sappiamo quindi che $x$ non assumerà mai un valore pari ad $a$. Dobbiamo quindi scoprire come si comporta la tua funzione quando la tua $x$ si avvicina tantissimo ad $a$.
La tua funzione può fare due cose:
4.a: tendere ad un valore finito. Quindi un numero ben definito.
4.b: tendere a $+oo$ oppure a $-oo$. In tal caso sarai in presenza dei cosiddetti asintoti verticali.
in gergo dovrai calcolare
$lim_(x->a^+) f(x)$
e
$lim_(x->a^-) f(x)$
i simboli "+" e "-" scritti come se fossero un esponente di $a$ stanno a significare rispettivamente $x$ che si avvicina ad $a$ arrivando da destra, e da sinistra.
devi inoltre studiare il comportamento della tua funzione quando $x$ tende a $-oo$ e quando tende a $+oo$. Anche in questo caso puoi ottenere 2 cose:
4.c: la funzione tende ad un volare finito. Siamo quindi in presenza di un asintoto orizzontale. Ovvero la tua funzione si avvicina sempre di più ad una retta
quindi avrai che
$lim_(x->oo) f(x) = k$ pertanto la tua funzione ha un asintoto orizzontale $y=k$
(stessa cosa da farsi per $x->-oo$)
4.d: la tua funzione può tendere ad infinito. In tal caso bisogna ancora valutare se siamo in presenza di un asintoto obliquo, ovvero se la tua funzione tende ad avvicinarsi ad una retta che non è orizzontale ma è appunto in obliquo rispetto all'asse $x$
per fare questo bisogna prima verificare se
$lim_(x->oo) f(x)/x = m$
ovvero tende ad un valore finito, e, nel caso esista $m$ allora vedere se esiste e quanto vale il limite
$lim_(x->oo) f(x)-mx = q$
se esiste il valore $q$ ed è un valore finito allora hai che la tua funzione tenderà ad avvicinarsi ad una retta di equazione
$y=mx+q$
tutto il ragionamento appena descritto per l'asintoto obliqui quando $x->oo$ lo devi fare anche per $x->-oo$
5) determinare dove la funzione cresce e dove decresce.
Per fare questo devi calcolarti $f'(x)$ ovvero la derivata prima di $f(x)$ e studiarne il segno (della derivata) come indicato nel punto 3) ma questa volta lo fai usando $f'(x)$ e non $f(x)$.
Quando la derivata è positiva la tua funzione cresce, quando è negativa decresce.
Se la derivata prima vale $0$ in un dato intervallo di valori di $x$ allora la tua funzione in quell'intervallo è una retta orizzontale.
6) Studio della concavità.
La tua funzione può crescere o decrescere. Quando per esempio cresce più farlo in due modi.
6.a: la funzione può crescere con la concavità verso l'alto
6.b: la funzione può crescere con la concavità verso il basso
nell'immagine che segue la linea rossa è un esempio di una funzione che cresce con concavità verso l'alto, mentre la linea blu è un esempio di funzione che cresce con concavità verso il basso.
Stesso identico discorso quando una funzione descresce
ci sarebbero ancora da fare delle considerazione quando hai la funzione con la derivata prima che cambia di segno in un punto ma non cambia la derivata seconda, ma te le risparmio per ora per non appesantire troppo la spiegazione
se hai ancora bisogno di aiuto chiedi pure
Ciao
grazie per la spiegazione,
questi procedimenti già li conosco ma il modulo di x-2 mi dà problemi. potresti mostrarmi i passaggi per disegnare almeno quella funzione?
grazie
questi procedimenti già li conosco ma il modulo di x-2 mi dà problemi. potresti mostrarmi i passaggi per disegnare almeno quella funzione?
grazie
Spezzi la funzione in due ...
"dcalle":
grazie per la spiegazione,
questi procedimenti già li conosco ma il modulo di x-2 mi dà problemi. potresti mostrarmi i passaggi per disegnare almeno quella funzione?
grazie
Quando trovi un valore assoluto devi considerare come se avessi a che fare con due funzioni distinte (eventualmente coincidenti dove il valore assoluto si annulla ma non è questo il caso). In questo caso l'una per \(\displaystyle x < 2 \) e l'altra per \(\displaystyle x > 2 \). Insomma durante i calcoli, semplicemente, a seconda di dove ti trovi usi l'una o l'altra.
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