Grafici deducibili delle funzioni
buonasera, scrivo perchè sto facendoquegli esercizi in cui bisogna disegnare il grafico di una funzione 'deducendolo' dalle funzioni elementari, allora ho studiato tutta la teoria sono riuscito a fare gli esercizi propedeutici ma poi con altri tipi di esercizi continuo a sbagliare a disegnare questi grafici....è strano perchè le varie regole di che cosa si deve fare con le funzioni, cioè quando si somma o si sottrae $k$ oppure quando si mette il segno negativo, valori assoluti, logaritmi insomma tutte quelle cose li ormai le so a memoria, ma per quanto concerne alcuni esercizi non riesco proprio a capire perchè non mi vengono. Non cè una gerarchia di regole da rispettare per disegnare i grafici? come faccio a sapere quale operazione fare per prima se si tratta di una funzione in cui bisogna fare piu di un'operazione?
Faccio alcuni esempi
1)$-|x+1|-1$ qui va tutto bene fin quando arrivo a disegnare $|x+1|$ ma poi come faccio a sapere se devo fare $|x+1|-1$ o se devo prima fare $-|x+1|$? gia lo stesso dubbio mi veniva in un altro esecizio che sarebbe $|log_(1/2)(4-x)|$ che non sapevo se andava prima la somma interna all'argomento, intendo dire $x+4$ o se andava prima il segno - di $-x$, in quest'ultimo caso dovevo fare prima la somma mentre nel caso $-|x+1|-1$ avrei dovuto fare prima $-|x+1|$ e poi $-|x+1|-1$ non capisco qul è la 'gerarchia' da rispettare non so se mi sono spiegato
2)$|log|x+1||$ anche questo ho sbagliato, la mi aprocedura sarebbe stata questa:
a)disegno $logx$
b)$log(x+1)$
c)$log|x+1|$
d)$|log|x+1||$
eppure anche questa cosa non andava bene..
3)se ho $log(x/(x+1))$ allora qui come argomento abbiamo un qualcosa di iperblolico con dominio $x!=-1$ poi però non so comporla con il logaritmo....Metto anche il grafico di $x/(x+1)$ senza però comporlo con il logaritmo perchè non ne sono capace....
4)se io ho $log(3x/(x-2))$cioè per farmi capire metto secondo me come dovrebbe essere il grafico di $(3x)/(x-2)$ io l'ho ricavo facendo $x-2!=0$ poi però non riesco a trovare l'intersezione con l'ascisse, cioè pure se io pongo $(3x)/(x-2)=0$ non posso semplificare, quindi non riesco a trovare l intersezione.
metto il grafico di $(3x)/(x-2)$ perchè non so se è giusto, almeno mi dite dove sbaglio e come potrei fare per trovare le intersezioni
P.S. ho 2 libri che parlano di tracciare i grafici e nessuno dei due spiega che cosa si dovrebbe fare come operazione a livello grafico quando si chiede di trovare $(f(x))^2$ partendo da $f(x)$ e $1/(f(x))$ sempre deducendolo da $f(x)$...dove le trovo queste istruzioni?
Faccio alcuni esempi
1)$-|x+1|-1$ qui va tutto bene fin quando arrivo a disegnare $|x+1|$ ma poi come faccio a sapere se devo fare $|x+1|-1$ o se devo prima fare $-|x+1|$? gia lo stesso dubbio mi veniva in un altro esecizio che sarebbe $|log_(1/2)(4-x)|$ che non sapevo se andava prima la somma interna all'argomento, intendo dire $x+4$ o se andava prima il segno - di $-x$, in quest'ultimo caso dovevo fare prima la somma mentre nel caso $-|x+1|-1$ avrei dovuto fare prima $-|x+1|$ e poi $-|x+1|-1$ non capisco qul è la 'gerarchia' da rispettare non so se mi sono spiegato
2)$|log|x+1||$ anche questo ho sbagliato, la mi aprocedura sarebbe stata questa:
a)disegno $logx$
b)$log(x+1)$
c)$log|x+1|$
d)$|log|x+1||$
eppure anche questa cosa non andava bene..
3)se ho $log(x/(x+1))$ allora qui come argomento abbiamo un qualcosa di iperblolico con dominio $x!=-1$ poi però non so comporla con il logaritmo....Metto anche il grafico di $x/(x+1)$ senza però comporlo con il logaritmo perchè non ne sono capace....
4)se io ho $log(3x/(x-2))$cioè per farmi capire metto secondo me come dovrebbe essere il grafico di $(3x)/(x-2)$ io l'ho ricavo facendo $x-2!=0$ poi però non riesco a trovare l'intersezione con l'ascisse, cioè pure se io pongo $(3x)/(x-2)=0$ non posso semplificare, quindi non riesco a trovare l intersezione.
metto il grafico di $(3x)/(x-2)$ perchè non so se è giusto, almeno mi dite dove sbaglio e come potrei fare per trovare le intersezioni
P.S. ho 2 libri che parlano di tracciare i grafici e nessuno dei due spiega che cosa si dovrebbe fare come operazione a livello grafico quando si chiede di trovare $(f(x))^2$ partendo da $f(x)$ e $1/(f(x))$ sempre deducendolo da $f(x)$...dove le trovo queste istruzioni?
Risposte
"ramarro":
1)$-|x+1|-1$ qui va tutto bene fin quando arrivo a disegnare $|x+1|$ ma poi come faccio a sapere se devo fare $|x+1|-1$ o se devo prima fare $-|x+1|$?
Intanto rispondo a questa domanda.
Qui devi semplicemente seguire le normali regole sulle operazioni aritmetiche e, in generale, sulle funzioni composte. Quindi la sequenza corretta è
\[
x\rightarrow x+1 \rightarrow \left|x+1\right|\rightarrow -\left|x+1\right| \rightarrow -\left|x+1\right|-1
\] Se invece applichi prima il $-1$ e poi il meno davanti a tutto ottieni
\[
x\rightarrow x+1 \rightarrow \left|x+1\right|\rightarrow \left|x+1\right|-1 \rightarrow -\left|x+1\right|+1
\] Perché andresti ad applicare il segno meno a tutta la funzione che avevi ottenuto fino a quel punto.
Prendo ora in considerazione il grafico di
\[
y=\left|\log\left|x+1\right|\right|
\] Preferisco scrivere più post per evitare di scrivere decine e decine di righe che risultano anche di difficile lettura (oltre che revisione da parte mia).
Iniziamo dal dominio:
\[
\left|x+1\right|>0 \quad\Rightarrow\quad x \neq -1
\] Ora costruiamo il grafico a pezzi. Per prima cosa, direi di applicare la seguente sostituzione
\[
x+1 = t
\] che è a tutti gli effetti una traslazione.
Iniziamo quindi dal grafico di $log(t)$ che dovrebbe esserti noto. Ora applichiamo il valore assoluto alla $t$. Questo significa prendere ciò che sta a destra dell'asse $y$ e simmetrizzarlo a sinistra, scartando tutto il resto. Otteniamo quindi il grafico di
\[
y = \log\left|t\right|
\] riportato di seguito:
A questo punto torniamo alle coordinate originali. Ricordando la sostituzione che abbiamo fatto, otteniamo $x = t-1$. Quindi dobbiamo traslare tutto verso sinistra di una unità. Di seguito il grafico di
\[y=\log\left|x+1\right|\]
A questo punto non ci resta che applicare il valore assoluto all'intera funzione. Questo significa prendere tutto ciò che è al di sotto dell'asse $x$ e simmetrizzarlo al di sopra. Otteniamo così il grafico finale:
Possiamo anche notare che la condizione che avevamo posto all'inizio, cioè $x != -1$, si è poi tradotta nella presenza di un asintoto verticale in corrispondenza di quel valore.
\[
y=\left|\log\left|x+1\right|\right|
\] Preferisco scrivere più post per evitare di scrivere decine e decine di righe che risultano anche di difficile lettura (oltre che revisione da parte mia).
Iniziamo dal dominio:
\[
\left|x+1\right|>0 \quad\Rightarrow\quad x \neq -1
\] Ora costruiamo il grafico a pezzi. Per prima cosa, direi di applicare la seguente sostituzione
\[
x+1 = t
\] che è a tutti gli effetti una traslazione.
Iniziamo quindi dal grafico di $log(t)$ che dovrebbe esserti noto. Ora applichiamo il valore assoluto alla $t$. Questo significa prendere ciò che sta a destra dell'asse $y$ e simmetrizzarlo a sinistra, scartando tutto il resto. Otteniamo quindi il grafico di
\[
y = \log\left|t\right|
\] riportato di seguito:
A questo punto torniamo alle coordinate originali. Ricordando la sostituzione che abbiamo fatto, otteniamo $x = t-1$. Quindi dobbiamo traslare tutto verso sinistra di una unità. Di seguito il grafico di
\[y=\log\left|x+1\right|\]
A questo punto non ci resta che applicare il valore assoluto all'intera funzione. Questo significa prendere tutto ciò che è al di sotto dell'asse $x$ e simmetrizzarlo al di sopra. Otteniamo così il grafico finale:
Possiamo anche notare che la condizione che avevamo posto all'inizio, cioè $x != -1$, si è poi tradotta nella presenza di un asintoto verticale in corrispondenza di quel valore.
ah ok grazie, si ora il grafico di $|log|x+1||$ l'ho capito! per quanto concerne invece i grafici che ho messo prima,
esercizio1)$log((3x)/(x-2))$
esercizio2)$log(x/(x+1)$
Se hai tempo, e se vuoi, mi potresti dire se ii grafici che ho postato relativi agli argomenti rispettivamente $((3x)/(x-2))$ e $((x)/(x+1))$ sono giusti? perchè non li so disegnare e non so neanche trovare i punti di intersezione con l' asse x.
Anche perchè perchè poi dovrei comporle con il logaritmo e quello non sono capace di farlo, conosco il grafico del logaritmo, ma non so fare la composizione dell'esercizio 1) e 2).
Poi resta sempre il problema di disegnare i grafici di $(f(x))^2$ e $1/(f(x))$ non sono spiegati da nessuna parte. Ormai il capitolo l'ho studiato tutto e non so dove cercare.
Grazie
Cordiali saluti
esercizio1)$log((3x)/(x-2))$
esercizio2)$log(x/(x+1)$
Se hai tempo, e se vuoi, mi potresti dire se ii grafici che ho postato relativi agli argomenti rispettivamente $((3x)/(x-2))$ e $((x)/(x+1))$ sono giusti? perchè non li so disegnare e non so neanche trovare i punti di intersezione con l' asse x.
Anche perchè perchè poi dovrei comporle con il logaritmo e quello non sono capace di farlo, conosco il grafico del logaritmo, ma non so fare la composizione dell'esercizio 1) e 2).
Poi resta sempre il problema di disegnare i grafici di $(f(x))^2$ e $1/(f(x))$ non sono spiegati da nessuna parte. Ormai il capitolo l'ho studiato tutto e non so dove cercare.
Grazie
Cordiali saluti
"ramarro":
Se hai tempo, e se vuoi, mi potresti dire se ii grafici che ho postato relativi agli argomenti rispettivamente $((3x)/(x-2))$ e $((x)/(x+1))$ sono giusti? perchè non li so disegnare e non so neanche trovare i punti di intersezione con l' asse x.
Domanda: perché non scarichi un software gratuito per fare i grafici? Ad esempio GeoGebra. Così poi puoi verificare autonomamente se quello che fai è corretto oppure no.
prima ne ho usato uno su internet, e ho gia visto che ho sbagliato qualcosa in effetti, cmq scusa non volevo farti il quarto grado, non volevo.
Cordiali saluti
Cordiali saluti
"ramarro":
scusa non volevo farti il quarto grado, non volevo.
No ma non è per questo. E' che così ti rendi più indipendente e non devi attendere le risposte di qualcuno sul forum. Poi ovviamente per i dubbi ci siamo. Ma per una semplice verifica è probabilmente più agevole l'utilizzo di un software. Se non vuoi installare niente puoi provare il famoso Wolfram|Alpha. Ti basta digitare l'equazione della curva per ottenere parecchie informazioni, tra cui il grafico.
si ok grazie l'ho scaricato solo che sto ancora cercando di capire come disegnare il grafioc di funzioni iperboliche, non riesco a capire quegli esercizi li.
Prendiamo $y=(3x)/(x-2)$. E' nella forma classica
\[
y=\frac{ax+b}{cx+d}
\] Rappresenta quindi un'iperbole omografica e sappiamo che ha il centro nel punto $C(-d/c, a/c)$ e due asintoti costituiti dalle rette $x=-d/c$ e $y=a/c$.
Nel nostro caso $C(2, 3)$, $x=2$, $y=3$. Ora questi due asintoti dividono il piano in quattro quadranti e noi sappiamo che la curva ne occuperà solo due. Per capire quali sono possiamo provare a sostituire un valore a caso alla $x$ e vedere cosa viene. Ad esempio $y(0) = 0$, quindi la curva starà nel quadrante in basso a sinistra e in quello in alto a destra. Se vuoi puoi trovare altri punti di passaggio, altrimenti la disegni un po' a occhio, facendola tendere agli asintoti. Il risultato è
\[
y=\frac{ax+b}{cx+d}
\] Rappresenta quindi un'iperbole omografica e sappiamo che ha il centro nel punto $C(-d/c, a/c)$ e due asintoti costituiti dalle rette $x=-d/c$ e $y=a/c$.
Nel nostro caso $C(2, 3)$, $x=2$, $y=3$. Ora questi due asintoti dividono il piano in quattro quadranti e noi sappiamo che la curva ne occuperà solo due. Per capire quali sono possiamo provare a sostituire un valore a caso alla $x$ e vedere cosa viene. Ad esempio $y(0) = 0$, quindi la curva starà nel quadrante in basso a sinistra e in quello in alto a destra. Se vuoi puoi trovare altri punti di passaggio, altrimenti la disegni un po' a occhio, facendola tendere agli asintoti. Il risultato è
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo