Goniometria - espressioni con relazioni fondamentali

[franz21]

ciao a tutti, ho problemi nel semplificare queste espressioni:

1) $ (1+tanalpha )^2+(1+1/tanalpha)^2-(1/cosalpha+1/sinalpha)^2 $

2) $ (1+tanalpha+1/cosalpha)*(1+1/tanalpha-1/sinalpha) $

non riesco a capire quali formule convenga usare (conviene trasformare la tan in funzione del sin o del cos?) e mi esce un disastro
grazie a tutti per l'aiuto

[giammaria2]

Come regola generale, quando non si vede una strada migliore conviene portare tutto a seno e coseno; vale anche nel tuo caso.
La seconda espressione è abbastanza veloce, soprattutto se applichi il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
Nella prima, dopo aver dato denominatore comune in tutte le parentesi, conviene mettere in evidenza $(sin alpha+cos alpha)^2$.

[franz21]

ciao, grazie..però non riesco ancora a risolvere..nella seconda per avere il prodotto notevole dovrei porre $ (1/tan)^-1 $ e poi dovrei trasformare
$ 1/sinalpha $ in $ 1/cosalpha $ o viceversa..ma le formule mi dicono che $ cosalpha = sqrt(1-sinalpha^2) $
quindi come ci arrivo ad (a-b)(a+b) ?

per quanto riguarda il primo esercizio questi sono i miei passaggi..

$ (1+tanalpha )^2+(1+1/tanalpha)^2-(1/cosalpha+1/sinalpha)^2 $
$ (1+sinalpha/cosalpha)^2+(1+1/(sinalpha/cosalpha))^2-((sinalpha+cosalpha)/(sinalpha cosalpha))^2 $
$ ((cos^2alpha+sin^2alpha)/(cos^2alpha))+((((sin^2alpha)/(cos^2alpha))+1)/((sin^2alpha)/(cos^2alpha)))-((sinalpha+cosalpha)/(sinalpha cosalpha))^2 $

se continuo a sviluppare esce un macello, quindi credo che l'errore sia qui in mezzo..
ciao

[donald_zeka]

Riguardo alla prima:

$ (1+tanalpha )^2+(1+1/tanalpha)^2-(1/cosalpha+1/sinalpha)^2 = $

$= (1+(sin^2alpha)/(cos^2alpha)+(2sinalpha)/cosalpha)+(1+(cos^2alpha)/(sin^2alpha)+(2cosalpha)/(sinalpha))-(1/(cos^2alpha)+1/(sin^2alpha)+2/(sinalphacosalpha))=$

$=(1+1)+((sin^2alpha)/(cos^2alpha)-1/(cos^2alpha))+((cos^2alpha)/(sin^2alpha)-1/(sin^2alpha))+((2sinalpha)/cosalpha+(2cosalpha)/sinalpha-2/(sinalphacosalpha))$=

$=2-2+(2(cos^2alpha+sin^2alpha-1))/(sinalphacosalpha)=0$

[donald_zeka]

Riguardo alla seconda:

$ (1+tanalpha+1/cosalpha)*(1+1/tanalpha-1/sinalpha) =$

$=(1+sinalpha/(cosalpha)+1/(cosalpha))(1+cosalpha/(sinalpha)-1/(sinalpha))=$

$=((cosalpha+sinalpha+1)/cosalpha)((sinalpha+cosalpha-1)/sinalpha)=$

$=((cosalpha+sinalpha)^2-1)/(sinalphacosalpha)=$

$=(cos^2alpha+sin^2alpha+2sinalphacosalpha-1)/(sinalphacosalpha)=$

$=(2sinalphacosalpha)/(sinalphacosalpha)=2$

[franz21]

ok ho capito gli errori!! grazie davvero!!
ciao

[franz21]

anzi no,..scusa ma nella prima non capisco da dove salta fuori il -2..?

[donald_zeka]

$(sin^2alpha)/(cos^2alpha)-1/(cos^2alpha)=(sin^2alpha-1)/(cos^2alpha)=(-cos^2alpha)/(cos^2alpha)=-1$

Stessa cosa per $(cos^2alpha)/(sin^2alpha)-1/(sin^2alpha)=-1$

[franz21]

giusto, grazie mille!
ciao

[giammaria2]

Chiarisco una mia frase: quando ho scritto "Come regola generale, quando non si vede una strada migliore conviene portare tutto a seno e coseno" intendevo di lasciare sia il seno che il coseno, rimandando a dopo l'eventuale scelta di uno solo fra essi.

Per la prima espressione, il mio suggerimento si riferiva al seguente svolgimento. Scrivo tutti i passaggi, anche se alcuni si possono fare anche solo a mente.
$(1+sinalpha/cosalpha)^2+(1+cosalpha/sinalpha)^2-((sinalpha+cosalpha)/(sinalphacosalpha))^2=$

$=((cosalpha+sinalpha)/cosalpha)^2+((sinalpha+cosalpha)/sinalpha)^2-((sinalpha+cosalpha)/(sinalphacosalpha))^2=$

$=(cosalpha+sinalpha)^2/(cos^2alpha)+(sinalpha+cosalpha)^2/(sin^2alpha)-(sinalpha+cosalpha)^2/(sin^2alphacos^2alpha)=$

$=(sinalpha+cosalpha)^2(1/(cos^2alpha)+1/(sin^2alpha)-1/(sin^2alphacos^2alpha))=$

$=(sinalpha+cosalpha)^2(sin^2alpha+cos^2alpha-1)/(sin^2alphacos^2alpha)=$

$=(sinalpha+cosalpha)^2*(1-1)/(sin^2alphacos^2alpha)=(sinalpha+cosalpha)^2*0=0$

[franz21]

ok grazie anche a te..il mio problema è che non "vedo" le cose..tipo prodotti notevoli ecc.. :/