Goniometria
conoscete qualche sito dove poter capire come si svolgono le equazioni di goniometria?
per ora mi servono solo quelle elementari
a scuola il prof non sa spiegare e il libro, negli esempi, salta alcuni passaggi, dandoli per scontati
e ora che ci sono, sapete un sito per gli archi associati e complementari? non mi servono le formule, ma la spiegazione, cioè come si arriva alle formule
vorrei capire ciò che studio(anche perchè la matematica farà parte del mio futuro) e non vorrei essere costretto a imparare a memoria
per ora mi servono solo quelle elementari
a scuola il prof non sa spiegare e il libro, negli esempi, salta alcuni passaggi, dandoli per scontati
e ora che ci sono, sapete un sito per gli archi associati e complementari? non mi servono le formule, ma la spiegazione, cioè come si arriva alle formule
vorrei capire ciò che studio(anche perchè la matematica farà parte del mio futuro) e non vorrei essere costretto a imparare a memoria
Risposte
Per gli angoli associati prova a vedere quello che avevo scritto qui. Forse non è proprio quello che volevi, ma è un aiuto per non sovraccaricare la mente con troppe formule.
Per le equazioni goniometriche elementari hai provato a guardare sul web? Possono essere spiegate in modi diversi e non vorrei confonderti le idee con metodi troppo differenti da quello che hai visto a scuola; facendo la ricerca tu stesso dovresti trovare quello che ti è più chiaro.
Questa è solo una risposta provvisoria; se non ti basta chiedi ancora, magari indicando quello che hai già capito.
Per le equazioni goniometriche elementari hai provato a guardare sul web? Possono essere spiegate in modi diversi e non vorrei confonderti le idee con metodi troppo differenti da quello che hai visto a scuola; facendo la ricerca tu stesso dovresti trovare quello che ti è più chiaro.
Questa è solo una risposta provvisoria; se non ti basta chiedi ancora, magari indicando quello che hai già capito.
quel trucco per ricordarsi gli angoli associati è geniale, in quel modo è molto più semplice ricordarli
ancora non ho avuto tempo di cercare su internet, domani mi metto alla ricerca
grazie
ancora non ho avuto tempo di cercare su internet, domani mi metto alla ricerca
grazie
per ora abbiamo fatto le equazioni elementari di seno e coseno e c'ha semplicemente detto che $ sinx=m $, con $ -1<= m<= +1 $ , ha due soluzioni: $ x_1 = alpha +-k360° $ e $ x_2 = 180°-alpha +-k360° $.
poi anche $ sinf(x)=m $ ha 2 soluzioni, come quelle di prima.
infine con $ sinf(x)=sing(x) $ si utilizzano gli archi associati e si hanno sempre 2 soluzioni: $ f(x)=g(x)+k360° $ e $ f(x)=180°-g(x)+k360° $
stessi procedimenti per il coseno
il tutto corredato con uno schizzo di circonferenza goniometrica
poi anche $ sinf(x)=m $ ha 2 soluzioni, come quelle di prima.
infine con $ sinf(x)=sing(x) $ si utilizzano gli archi associati e si hanno sempre 2 soluzioni: $ f(x)=g(x)+k360° $ e $ f(x)=180°-g(x)+k360° $
stessi procedimenti per il coseno
il tutto corredato con uno schizzo di circonferenza goniometrica
Parli di "uno schizzo di circonferenza goniometrica" e quindi ti spiego il metodo che usa questa circonferenza; lo faccio riferendomi all'esempio dell'equazione
$sinx=sqrt3/2$
Il seno è un segmento verticale, quindi dobbiamo prendere il punto della circonferenza che sta sopra all'asse principale (perché c'è il più), a distanza $sqrt3/2=0,87$ da esso; ricorda che per definizione il raggio vale $1$. Questo va bene in generale ma qui abbiamo il seno di un angolo speciale e possiamo subito dire che ci va bene il punto corrispondente all'angolo di 60°. A questo punto però corrispondono infiniti angoli, quindi sono soluzioni tutti gli angoli del tipo $x=60°+k*360°$.
Chiediamoci ora se ci sono altri punti a quella stessa distanza in positivo e per questo tracciamo la retta parallela all'asse principale per quel punto. Notiamo una seconda intersezione con la circonferenza nel secondo quadrante; pensando agli angoli associati, diciamo che corrisponde ad $x=180°-60°+k*360°$.
Il ragionamento non cambia in presenza del meno; l'unica diversità è che dobbiamo stare sotto all'asse principale.
Se il valore di $m$ non è il seno di un angolo speciale dobbiamo ricorrere alla calcolatrice ma possiamo dare una prima valutazione approssimata con un disegno ben fatto. Ad esempio con l'equazione $sinx=-1/3$, dividiamo il raggio verticale al di sotto in tre parti uguali e per il punto $-1/3$ tracciamo la parallela all'asse; la circonferenza viene incontrata nel terzo e quarto quadrante e, ad occhio, stimiamo che l'intersezione nel quarto corrisponda all'incirca all'angolo di $alpha=-20°$ (la calcolatrice dà $alpha=-19,47°$): la corrispondente soluzione è $x=alpha+k*360°$. L'intersezione nel terzo corrisponde a circa $180°+20°$ e poiché $+20°$ è $alpha$ cambiato di segno la soluzione corrispondente è $180°-alpha+k*360°$.
Per il coseno si ragiona in modo analogo; il coseno è però un segmento orizzontale e quindi dobbiamo tracciare le parallele all'asse secondario; dal disegno vediamo che se un angolo è soluzione, un'altra soluzione è quell'angolo cambiato di segno. Ricordando poi che ad ogni punto corrispondono gli infiniti angoli ottenuti aggiungendo un multiplo dell'angolo giro, abbiamo la regola: se $x=alpha$ è una soluzione, tutte le soluzioni sono date da $x=+-alpha+k*360°$.
Restano da esaminare ancora alcune cosette, ma prima controlla se quanto ho detto ti è chiaro, magari svolgendo qualche altro esercizio. Se ti è chiaro, è probabile che tu possa scoprire da solo quello che abbiamo finora tralasciato.
$sinx=sqrt3/2$
Il seno è un segmento verticale, quindi dobbiamo prendere il punto della circonferenza che sta sopra all'asse principale (perché c'è il più), a distanza $sqrt3/2=0,87$ da esso; ricorda che per definizione il raggio vale $1$. Questo va bene in generale ma qui abbiamo il seno di un angolo speciale e possiamo subito dire che ci va bene il punto corrispondente all'angolo di 60°. A questo punto però corrispondono infiniti angoli, quindi sono soluzioni tutti gli angoli del tipo $x=60°+k*360°$.
Chiediamoci ora se ci sono altri punti a quella stessa distanza in positivo e per questo tracciamo la retta parallela all'asse principale per quel punto. Notiamo una seconda intersezione con la circonferenza nel secondo quadrante; pensando agli angoli associati, diciamo che corrisponde ad $x=180°-60°+k*360°$.
Il ragionamento non cambia in presenza del meno; l'unica diversità è che dobbiamo stare sotto all'asse principale.
Se il valore di $m$ non è il seno di un angolo speciale dobbiamo ricorrere alla calcolatrice ma possiamo dare una prima valutazione approssimata con un disegno ben fatto. Ad esempio con l'equazione $sinx=-1/3$, dividiamo il raggio verticale al di sotto in tre parti uguali e per il punto $-1/3$ tracciamo la parallela all'asse; la circonferenza viene incontrata nel terzo e quarto quadrante e, ad occhio, stimiamo che l'intersezione nel quarto corrisponda all'incirca all'angolo di $alpha=-20°$ (la calcolatrice dà $alpha=-19,47°$): la corrispondente soluzione è $x=alpha+k*360°$. L'intersezione nel terzo corrisponde a circa $180°+20°$ e poiché $+20°$ è $alpha$ cambiato di segno la soluzione corrispondente è $180°-alpha+k*360°$.
Per il coseno si ragiona in modo analogo; il coseno è però un segmento orizzontale e quindi dobbiamo tracciare le parallele all'asse secondario; dal disegno vediamo che se un angolo è soluzione, un'altra soluzione è quell'angolo cambiato di segno. Ricordando poi che ad ogni punto corrispondono gli infiniti angoli ottenuti aggiungendo un multiplo dell'angolo giro, abbiamo la regola: se $x=alpha$ è una soluzione, tutte le soluzioni sono date da $x=+-alpha+k*360°$.
Restano da esaminare ancora alcune cosette, ma prima controlla se quanto ho detto ti è chiaro, magari svolgendo qualche altro esercizio. Se ti è chiaro, è probabile che tu possa scoprire da solo quello che abbiamo finora tralasciato.
credevo chissà quanto fosse complicato come ragionamento, e invece è quasi banale
non credo che il prof c'avrebbe messo molto a spiegarlo in questo modo
e la parte teorica l'ho capita(c'ha fatto il disegno solo per $ sinx=m $ )
gli esercizi, invece, mi vengono in parte. cioè il libro mette più risultati.
esempio
$ sin2x=(sqrt2)/2 $ ---> $ (sqrt2)/2 =45° $
$ x_1 =45/2 $
$ x_1 =45°+-k360° $
$ x_1 =1/8 pi +- k360° $
$ x_2 =180-45/2 +- k360° $
$ x_2 =315/2 +- k360° $
$ x_2 =7/8pi+-k360 $
questi sono i due risultati che mi escono, ma il libro 1) mette 4 risultati 2) la $x_2 $ che esce a me non c'è trai risultati
i risultati del libro sono:
- $ pi/8 $
- $ 3/8 pi $
- $ 9/8 pi $
- $ 11/8 pi $
non credo che il prof c'avrebbe messo molto a spiegarlo in questo modo
e la parte teorica l'ho capita(c'ha fatto il disegno solo per $ sinx=m $ )
gli esercizi, invece, mi vengono in parte. cioè il libro mette più risultati.
esempio
$ sin2x=(sqrt2)/2 $ ---> $ (sqrt2)/2 =45° $
$ x_1 =45/2 $
$ x_1 =45°+-k360° $
$ x_1 =1/8 pi +- k360° $
$ x_2 =180-45/2 +- k360° $
$ x_2 =315/2 +- k360° $
$ x_2 =7/8pi+-k360 $
questi sono i due risultati che mi escono, ma il libro 1) mette 4 risultati 2) la $x_2 $ che esce a me non c'è trai risultati
i risultati del libro sono:
- $ pi/8 $
- $ 3/8 pi $
- $ 9/8 pi $
- $ 11/8 pi $
poi ce n'è anche un altro che ha addirittura 6 soluzioni 
$ sin3x=-(sqrt2)/2 $ ---> $ -(sqrt2)/2 = 225° $
$ x_1=225/3=75 $ ---> $ x_1=5/12pi $
$ x_2=180-225/3 $
$ x_2=180-75 $ $ x_2=105 $ ---> $ x_2=7/12pi $
il libro oltre a questi due risultati ne aggiunge altri:
- $ 13/12 pi $
- $ 5/4 pi $
- $ 7/4 pi $
- $ 23/12 pi $
di questi ho trovato $ 5/4 pi $ ponendo solamente $ x=225 $, senza dividere per 3
gli altri non li ho trovati e non ho capito come si trovano...
$ sin3x=-(sqrt2)/2 $ ---> $ -(sqrt2)/2 = 225° $
$ x_1=225/3=75 $ ---> $ x_1=5/12pi $
$ x_2=180-225/3 $
$ x_2=180-75 $ $ x_2=105 $ ---> $ x_2=7/12pi $
il libro oltre a questi due risultati ne aggiunge altri:
- $ 13/12 pi $
- $ 5/4 pi $
- $ 7/4 pi $
- $ 23/12 pi $
di questi ho trovato $ 5/4 pi $ ponendo solamente $ x=225 $, senza dividere per 3
gli altri non li ho trovati e non ho capito come si trovano...
Se
$sin2x=sqrt(2)/2$,
allora
$2x=pi/4+2kpi vv 2x=3/4pi+2kpi->x=pi/8+kpi vv x=3/8pi+kpi$.
Se invece
$sin3x=-sqrt(2)/2$,
allora
$3x=5pi/4+2kpi vv 3x=7/4pi+2kpi->x=5/12pi+k2/3pi vv x=7/12pi+k2/3pi$.
$sin2x=sqrt(2)/2$,
allora
$2x=pi/4+2kpi vv 2x=3/4pi+2kpi->x=pi/8+kpi vv x=3/8pi+kpi$.
Se invece
$sin3x=-sqrt(2)/2$,
allora
$3x=5pi/4+2kpi vv 3x=7/4pi+2kpi->x=5/12pi+k2/3pi vv x=7/12pi+k2/3pi$.
-.-"
grazie mille a entrambi, e grazie a questo forum, con il quale riesco a capire tutto ciò che non capisco, purtroppo, a scuola
grazie mille a entrambi, e grazie a questo forum, con il quale riesco a capire tutto ciò che non capisco, purtroppo, a scuola
Ti svolgo l'ultimo, quello con 6 risultati; chiaraotta ti ha già indicato la soluzione del precedente, che è sulla stessa falsariga di questo. Noto che il libro dà i risultati in radianti e quindi lavoro con questi; una raccomandazione generale è stabilire fin dall'inizio se usare i gradi o i radianti e poi continuare con una sola unità di misura.
Il seno ha come argomento $3x$; inizialmente quindi penso che l'angolo sia $y=3x$ e, usando la formula a memoria oppure lavorando sul cerchio goniometrico riferito all'angolo $y$, trovo le soluzioni
$3x_1=-pi/4+2kpi" "vv" "3x_2=pi-(-pi/4)+2kpi=(5pi)/4+2kpi$
Lavoriamo ora con la prima soluzione; tralascio gli indici perché darebbero confusione. Per ricavare $x$ devo dividere tutto per 3 ed ottengo
$x=-pi/12+k*2/3pi$
Per capire bene questa soluzione debbo chiedermi quali punti del cerchio goniometrico (riferito ad $x$) siano indicati, ed uno è certamente $-pi/12$; molti autori preferiscono però non usare gli angoli negativi e quindi lo chiamano $-pi/12+2pi=23/12pi$.
Gli altri punti si ottengono sommando ripetutamente $2/3pi$ e quindi sono
$-pi/12+2/3pi=7/12pi$
$-pi/12+4/3pi=15/12pi=5/4pi$
Con una ulteriore aggiunta di $2/3pi$ ricadremmo sul punto iniziale e quindi ci fermiamo qui.
Passiamo ora alla seconda soluzione e dividiamo per 3; otteniamo
$x=5/12pi+k*2/3pi$
Sul cerchio goniometrico relativo ad $x$ avremo quindi il punto $5/12pi$ e, aggiungendo ripetutamente $2/3pi$, gli altri punti
$5/12pi+2/3pi=13/12pi$
$5/12pi+4/3pi=21/12pi=7/4pi$
Come esercizio, ti consiglio di disegnare sul cerchio goniometrico tutte le soluzioni.
Il seno ha come argomento $3x$; inizialmente quindi penso che l'angolo sia $y=3x$ e, usando la formula a memoria oppure lavorando sul cerchio goniometrico riferito all'angolo $y$, trovo le soluzioni
$3x_1=-pi/4+2kpi" "vv" "3x_2=pi-(-pi/4)+2kpi=(5pi)/4+2kpi$
Lavoriamo ora con la prima soluzione; tralascio gli indici perché darebbero confusione. Per ricavare $x$ devo dividere tutto per 3 ed ottengo
$x=-pi/12+k*2/3pi$
Per capire bene questa soluzione debbo chiedermi quali punti del cerchio goniometrico (riferito ad $x$) siano indicati, ed uno è certamente $-pi/12$; molti autori preferiscono però non usare gli angoli negativi e quindi lo chiamano $-pi/12+2pi=23/12pi$.
Gli altri punti si ottengono sommando ripetutamente $2/3pi$ e quindi sono
$-pi/12+2/3pi=7/12pi$
$-pi/12+4/3pi=15/12pi=5/4pi$
Con una ulteriore aggiunta di $2/3pi$ ricadremmo sul punto iniziale e quindi ci fermiamo qui.
Passiamo ora alla seconda soluzione e dividiamo per 3; otteniamo
$x=5/12pi+k*2/3pi$
Sul cerchio goniometrico relativo ad $x$ avremo quindi il punto $5/12pi$ e, aggiungendo ripetutamente $2/3pi$, gli altri punti
$5/12pi+2/3pi=13/12pi$
$5/12pi+4/3pi=21/12pi=7/4pi$
Come esercizio, ti consiglio di disegnare sul cerchio goniometrico tutte le soluzioni.
"giammaria":
Per capire bene questa soluzione debbo chiedermi quali punti del cerchio goniometrico (riferito ad $x$) siano indicati, ed uno è certamente $-pi/12$; molti autori preferiscono però non usare gli angoli negativi e quindi lo chiamano $-pi/12+2pi=23/12pi$.
ma se aggiungi 360, non torni allo stesso punto(e quindi è di nuovo negativo)?
credo che la goniometria sia la parte che odio di più di tutta la matematica fatta fino ad ora
"simo954":
ma se aggiungi 360, non torni allo stesso punto(e quindi è di nuovo negativo)?
credo che la goniometria sia la parte che odio di più di tutta la matematica fatta fino ad ora
Certo, torno allo stesso punto, ma indicato con un valore positivo. Vediamo come esempio il punto più in basso del cerchio goniometrico: posso dire che è il punto $-90°$ oppure $+270°$ e sono solo due modi diversi per indicarlo, con un numero più basso ma negativo o più alto ma positivo.
Mi rincresce per il tuo odio per la goniometria, che a me invece piace molto; però credo e spero che sia dovuto al fatto che ancora non la vedi nell'ottica giusta e che procedendo nell'argomento la apprezzerai anche tu.
capito
domani provo a fare qualche altro esercizio, sperando bene
probabilmente in questo momento la odio perchè mi è stata spiegata male e ancora la devo assimilare bene(questa parte)
comunque me la dovrò far piacere, perchè sarà materia d'esame
domani provo a fare qualche altro esercizio, sperando bene
probabilmente in questo momento la odio perchè mi è stata spiegata male e ancora la devo assimilare bene(questa parte)
comunque me la dovrò far piacere, perchè sarà materia d'esame
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