Gerarchia degli infiniti...
$ lim_(x -> -oo) e^-x/x^4 $
$ lim_(x -> +oo) x^4/lnx $
mi trovo di fronte questi due limiti che devo risolvere usando la gerarchia degli infiniti... ma come e si fa??
e un'altra domanda... nel caso abbia $ lim_(x -> oo) lnx/b^x $ il risultato è 0...ma perchè?
$ lim_(x -> +oo) x^4/lnx $
mi trovo di fronte questi due limiti che devo risolvere usando la gerarchia degli infiniti... ma come e si fa??
e un'altra domanda... nel caso abbia $ lim_(x -> oo) lnx/b^x $ il risultato è 0...ma perchè?
Risposte
La gerarchia degli infiniti ti dà una specie di classifica delle funzioni che vanno prima ad infinito, si va dalla più lenta che è $logx$ alla più veloce che è $f(x)^g(x)$. E' uno strumento utile quando si studiano limiti tipo quelli che hai postato. Ti dà una mano nello stabilire chi tra le funzioni è più veloce (verso l'inifinito). Ad esempio nel primo limite che hai postato, si dice: poichè la funzione esponenziale è più veloce della funzione potenza allora quel limite fa in $+oo$
"Gigi18":
e un'altra domanda... nel caso abbia $ lim_(x -> oo) lnx/b^x $ il risultato è 0...ma perchè?
$b^x$ per $x -> +oo$ è un infinito solo se $b > 1$. Assumendo $b > 1$,
$ lim_(x -> oo) lnx/b^x = lim_(x -> oo) lnx/x * x/b^x = lim_(x -> oo) lnx/x * 1/((b^x)/x) = 0 * 0$
Puoi anche ragionare in questo modo:
$b>1 , b^x$ è proprio la funzione esponenziale, la quale essendo più veloce della funzione logaritmo, cioè va prima ad infinito, ti permette in un certo senso di tralasciare il peso del logaritmo nel limite e di considerare solo il contributo di $b^x$, è come se dovessi lavorare con $1/b^x$ che ovviamente per $x->+oo$ tende a zero.
$b>1 , b^x$ è proprio la funzione esponenziale, la quale essendo più veloce della funzione logaritmo, cioè va prima ad infinito, ti permette in un certo senso di tralasciare il peso del logaritmo nel limite e di considerare solo il contributo di $b^x$, è come se dovessi lavorare con $1/b^x$ che ovviamente per $x->+oo$ tende a zero.
"Lorin":
Puoi anche ragionare in questo modo:
$b>1 , b^x$ è proprio la funzione esponenziale, la quale essendo più veloce della funzione logaritmo, cioè va prima ad infinito, ti permette in un certo senso di tralasciare il peso del logaritmo nel limite e di considerare solo il contributo di $b^x$, è come se dovessi lavorare con $1/b^x$ che ovviamente per $x->+oo$ tende a zero.
Permetti una leggera critica?
Dicendo che "la funzione esponenziale è più veloce della funzione logaritmo", non vuoi esprimere proprio il fatto che $lim_(x -> +oo) (ln(x))/(b^x) = 0$ ?
Ma questo è quello che vorresti far vedere...
Mi sono spiegato?
Oppure tu intendi altro dicendo "è più veloce" ?
Il mio era solo un tentativo di spiegarti come si ragiona con questo tipo di limiti utilizzando la gerarchia degli infiniti...Ovviamente non è sempre facile capirsi su un forum.
"Lorin":
Il mio era solo un tentativo di spiegarti come si ragiona con questo tipo di limiti utilizzando la gerarchia degli infiniti...Ovviamente non è sempre facile capirsi su un forum.
Il problema non è capirsi. L'utente ha chiesto una spiegazione del perché $lim_( x -> +oo ) (ln(x))/(b^x) = 0$ e tu hai risposto, in buona sostanza, che
$lim_( x -> +oo ) (ln(x))/(b^x) = 0$ è dovuto al fatto che $lim_( x -> +oo ) (ln(x))/(b^x) = 0$.
Sbaglio?
No. Io ho spiegato che essendo la funzione esponenziale più veloce del logaritmo allora potevamo considerare il limite di $logx/b^x$ come $1/b^x$ perchè tanto la funzione logaritmo non ha peso ai fini del risultato, e quindi $lim_(x->+oo)1/b^x=1/(+oo)=0$
"Lorin":
No. Io ho spiegato che essendo la funzione esponenziale più veloce del logaritmo allora potevamo considerare il limite di $logx/b^x$ come $1/b^x$ perchè tanto la funzione logaritmo non ha peso ai fini del risultato, e quindi $lim_(x->+oo)1/b^x=1/(+oo)=0$
Ma la spiegazione del fatto che non ha peso... Da dove deriva secondo te?
dalla gerarchia...
"Lorin":
dalla gerarchia...
E la gerarchia su cosa si basa?
Ma mi stai prendendo in giro!?....O.o
"Lorin":
Ma mi stai prendendo in giro!?....O.o
Certo. Non ho di meglio da fare.
Siano $f,g$ due infiniti. Noi conveniamo di dire che, per $x -> bar{x}$, $f(x)$ va ad infinito più velocemente [lentamente] di $g(x)$ (cioè $f(x)$ è un infinito di ordine superiore [inferiore] rispetto a $g(x)$) se $lim_(x -> bar{x}) (f(x))/(g(x)) = +oo$ [$0$].
Con questa definizione acquista senso parlare di "velocità di un infinito", ti pare? Ed è così che poi si stabilisce la gerarchia degli infiniti.
Se la gerarchia, come dici tu, pone che $ln(x)$ va ad infinito più lentamente di $b^x$, naturalmente stai dicendo che $lim_(x -> +oo) (ln(x))/(b^x) = 0$.
...
E quindi?!
Non mi pare che tu lo spieghi in modo diverso nel tuo intervento inziale.
Non mi pare che tu lo spieghi in modo diverso nel tuo intervento inziale.
"Lorin":
E quindi?!
Non mi pare che tu lo spieghi in modo diverso nel tuo intervento inziale.
Ma hai capito quello che ti sto scrivendo?
Non sto affermando che hai sbagliato.
E' come se uno ti chiedesse perché $lim_(x -> 0) (sin(x))/x = 1$ e tu gli rispondessi "perché il limite notevole pone $lim_(x -> 0) (sin(x))/x = 1$".
Ma direi che usare il teorema del confronto per far capire come si arriva a questo risultato sembra un po' meno tautologico.
Si ho capito...ed è per questo che ho detto che la tua spiegazione non era tanto diversa dalla mia. In fondo anche tu fai uso della gerarchia, l'unica differenza è che tu moltiplichi e dividi per x
"Lorin":
Si ho capito...ed è per questo che ho detto che la tua spiegazione non era tanto diversa dalla mia. In fondo anche tu fai uso della gerarchia, l'unica differenza è che tu moltiplichi e dividi per x
Io non ho tirato fuori la gerarchia degli infiniti. Ho solo applicato due limiti notevoli (per tirarne fuori un terzo un po' meno ovvio).
Non so... Poi non ho neanche capito perché $lim_(x -> +oo) (ln(x))/(b^x)$ può diventare $lim_(x -> +oo) 1/(b^x)$.
Ma fa niente. Ci siamo capiti.
Meglio così!
"Gigi18":
$ lim_(x -> -oo) e^-x/x^4 $
$ lim_(x -> +oo) x^4/lnx $
mi trovo di fronte questi due limiti che devo risolvere usando la gerarchia degli infiniti... ma come e si fa??
e un'altra domanda... nel caso abbia $ lim_(x -> oo) lnx/b^x $ il risultato è 0...ma perchè?
Per concludere: le gerarchie di infinito non si trattano spesso alle superiori.
Per tagliare la testa al toro e risolvere $ lim_(x -> oo) lnx/b^x $ basta applicare De L'Hospital.
E' che spesso incontriamo questi limiti che neanche sappiamo cosa è una derivata. Io (che inizio a studiare le derivate proprio in questi giorni) se, raramente, capitano limiti del tipo $ lim_(x -> +oo) logx/log(x+1) $ sono abituato proprio a risolverli cosi: $logx$ e $log(x+1)$ sono infiniti dello stesso ordine e quindi $ lim_(x -> +oo) logx/log(x+1) = 1$.
Vabbe in un certo senso è questo il ragionamento. In $log(x+1)$ potresti mettere in evidenza la x in parentesi e noterai che $log(x+1)~log(x)$ e quindi il limite tende ad uno.
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