Geometriaaa dimostrazioni (205370)

[giuls2704]

1.Le bisettrici degli angoli di un triangolo equilatero formano nell’incentro tre angoli congruenti.

2 Se in un triangolo il circocentro coincide con l’incentro, allora il triangolo è equilatero.

[carlogiannini]

(2) se l'incentro I coincide col circocentro allora le rette IM, IN, IP sono anche gli assi dei lati (perpendicolari nel punto medio) quindi
AM=MB
BN=NC
CP=PA
Ma siccome
AM=AP
PC=CN
NB=BM
(figura 1)
i tre lati sono uguali perché somme di segmenti uguali. Dico uguali e non congruenti solo perché è più corto.
Viceversa (figura 2) se il circocentro C' coincide con l'incentro allora devono essere uguali C'Q, C'R e C'S. Allora i triangoli isosceli AC'B, BC'C e CC'A sono uguali perché hanno uguali i lati obliqui E le altezze

Aggiunto 16 minuti più tardi:

(1)
tracciando le bisettrici scomponiamo il triangolo equilatero in 6 triangoli. Sono tutti rettangoli perché le bisettrici del triangolo equilatero sono anche gli assi dei lati opposti, e sono tutti uguali sia per il primo che per il terzo criterio. Quindi i tre angoli
AIB BIC CIA sono congruenti perché somme di angoli uguali (figura 3)