GEOMETRIA UNO

[omar2080]

Dato un trapezio rettangolo ABCD avente altezza AD=1 e basi AB=2 e CD=x determinare il volume del parallelepipedo retto a base quadrata il cui lato di base sia uguale al lato obliquo BC del trapezio e la cui altezza sia uguale alla base CD del trapezio stesso.
Tracciare in coordinate cartesiane ortogonali il grafico della funzione y = f(x) rappresentante il lato del cubo avente lo stesso volume del precedente parallelepipedo.
Determinare l'equazione della retta t passante per l'origine del sistema di riferimento delle coordinate cartesiane ortogonali e tangente alla curva y = f(x) in un punto T del primo quadrante.

Verificare che T ha coordinate x = 5/2 e y = radice cubica di 25/8

[Camillo]

GEOMETRIA
*I dati sono : AD=1 ; AB=2 ; CD = x e quindi se chiamo H la

proiezione di C su AB , sarà : HB = 2 - x e ovviamente CH = 1 .
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo CHB si ha

che : BC^2 = ( 1+(2-x)^2)= x^2-4x+5.
Poichè il parallelepipedo ha base quadrata , l'area di base sarà :
BC^2 = x^2-4x+5 , mentre l'altezza vale : CD= x e quindi il volume

sarà :
x*(x^2-4x+5) = x^3-4x^2+5x .
Se ora f(x) deve rappresentare il lato del cubo avente lo stesso

volume del parallelepipedo , chiaramente sarà : f(x) =

rad3(x^3-4x^2+5x) .
pertanto la funzione di cui tracciare il grafico è : y=

f(x)=rad3(x^3-4x^2+5x) .
Consideriamo la funzione solo per x >= 0.
cerchiamo gli zeri della funzione riscrivendola così : x( x^2-4x+5).

x= 0 è senz'altro uno zero ; non ne esistono altri perchè

l'espressione tra parentesi non si annulla mai ed è sempre positiva.
La funzione è dunque sempre positiva (per x > 0).
il limite della funzione per x che tende a + 00 è :+ 00( basta

raccogliere all'interno della radice il termine x^3 e poi portarlo

fuori dalla radice e diventa : x e poi far tendere x all'00) .
Si trova poi che la funzione ha un asintoto obliquo di equazione :

y=x-4/3.
La derivata prima f'(x) vale : (3x^2-8x+5) /(3*(x^3-4x^2+5x)^(2/3)).
Il denominatore è sempre positivo , il numeratore vale 0 per
x= 1 e x= 5/3 ; studiando il segno della derivata si vede facilmente

che : x=1 è punto di max. , mentre x=5/3 è punto di minimo dopodichè

la funzione è sempre crescente e tende a +00 asintoticamente secondo

la retta y=x-4/3.
Infatti il limite per x che tende a +00 di: (x^3-4x^2+5x)^(1/3)/x

vale : 1 , mentre il limite di:(x^3-4x^2+5x)^(1/3)- x vale : -4/3.
Poichè il denominatore della derivata tende a 0 per x che tende a 0,

significa che la derivata tende all'00 per x che tende a 0.
Quindi la funzione ha un flesso a tangente verticale per x=0.
Ora e' facile fare il grafico .

* Determinazione retta t

Poichè la retta t deve passare per l'origine avrà equazione : y = mx.
Sfruttando il fatto che deve essere tangente alla curva : y= f(x) ,

si potrà determinare il valore del parametro : m.
Pongo a sistema le equazioni della retta t e della curva f(x) per

trovare le intersezioni; imporrò quindi nell'equazione risolvente che

il discriminante valga 0 ( il che vuol dire che si ha tangenza) .

( y=(x^3-4x^2+5x)^(1/3)
) y = mx da cui :

mx = (x^3-4x^2+5x)^(1/3) e quindi :m^3*x^3 =x^3-4x^2+5x e finalmente

:

x*( (m^3-1)x^2+4x-5) = 0 .
Pongo uguale a 0 il determinante della equazione di secondo grado :

4+5m^3-5=0
m = 1/(5)^(1/3).
L'equazione della retta tangente t è dunque : y = (1/(5)^(1/3)) x.
Coordinate del punto T .
La soluzione dell'equazione di secondo grado dà : x = -2/(m^3-1) =
5/2( sostituendo il valore di m appena trovato )
y = (1/(5)^(1/3))*5/2 = (25/8)^(1/3) .

Le coordinate di T sono : 5/2 , (25/8)^(1/3) .

Camillo