Geometria: Tangenti alla circonferenza da un punto esterno
CiaO a tuTTi i i ^^
la geometria non e' il mio forte.. xD..
infatti volevo chiedervi aiuto per questo problemino:
- da un punto esterno ad una circonferenza di raggio di misura r, si conducano le tangenti ad essa. quanto dista il punto dal centro della circonferenza se la corda che ha per estremi i punti di tangenza misura 6/5r ? -
:hi e grazie 1000 in anticipo :)
la geometria non e' il mio forte.. xD..
infatti volevo chiedervi aiuto per questo problemino:
- da un punto esterno ad una circonferenza di raggio di misura r, si conducano le tangenti ad essa. quanto dista il punto dal centro della circonferenza se la corda che ha per estremi i punti di tangenza misura 6/5r ? -
:hi e grazie 1000 in anticipo :)
Risposte
Fai il disegno così:
chiamiamo P il punto esterno alla circonferenza, A e B i punti di tangenza, O il centro, H il punto di incontro tra il segmento PO e la corda AB.
Sapendo che il segmento che unisce il punto P al centro O è anche bisettrice dell'angolo AOB e perpendicolare alla corda AB, il triangolo ABP è isoscele, e il punto H è il punto medio tra A e B, ricaviamo facilmente che OA=OB=6/10r (cioè metà della corda).
Unisci il centro O al punto B: questo è il raggio, che misura r.
Con il teorema di Pitagora calcoli la lunghezza di OH, utilizzando il triangolo rettangolo OAH.
A questo punto consideri il triangolo OAP.
Questo è rettangolo in A, dal momento che il raggio passante per il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente.
di questo triangolo nuovo, conosciamo l'altezza AH (6/10r) e la proiezione del cateto AO sull'ipotenusa OP (appena calcolata con Pitagora).
Il secondo teorema di Euclide ci dice che il quadrato costruito sull'altezza è uguale al prodotto delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Nel nostro caso
da cui
Una volta trovato il valore di HP, la distanza tra P e O sarà HP+OH.
chiamiamo P il punto esterno alla circonferenza, A e B i punti di tangenza, O il centro, H il punto di incontro tra il segmento PO e la corda AB.
Sapendo che il segmento che unisce il punto P al centro O è anche bisettrice dell'angolo AOB e perpendicolare alla corda AB, il triangolo ABP è isoscele, e il punto H è il punto medio tra A e B, ricaviamo facilmente che OA=OB=6/10r (cioè metà della corda).
Unisci il centro O al punto B: questo è il raggio, che misura r.
Con il teorema di Pitagora calcoli la lunghezza di OH, utilizzando il triangolo rettangolo OAH.
A questo punto consideri il triangolo OAP.
Questo è rettangolo in A, dal momento che il raggio passante per il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente.
di questo triangolo nuovo, conosciamo l'altezza AH (6/10r) e la proiezione del cateto AO sull'ipotenusa OP (appena calcolata con Pitagora).
Il secondo teorema di Euclide ci dice che il quadrato costruito sull'altezza è uguale al prodotto delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Nel nostro caso
[math] AH^2=OH \cdot HP [/math]
da cui
[math] HP= \frac{AH^2}{OH} [/math]
Una volta trovato il valore di HP, la distanza tra P e O sarà HP+OH.
grazie infiniteeee.. :)
posso chiederti se puoi controllare quest' altro problema di geometria: l'ho fatto io pero' non sono davvero sicura.. ihih!
_dimostra che le diagonali di un trapezio lo dividono in 4 triangoli: due dei quali sono equivalenti_
dopo aver fatto il disegno del trapezio ABCD ( non rettangolo ne' isoscele ) e aver disegnato le diagonali AC e BD e aver chiamato P il punto d'intersezione delle diagonali, la tesi e': APD equivalente PCB ( e' giusto considerare questi due triangoli?)
comunque la dimostrazione risulta essere:
gli angoli in P dei triangoli APD e CPB sono congruenti perche' opposti al vertice;
consideriamo ora le due basi del trapezio: esse sono parallele e le due diagonali sono due trasversali, creando cosi' angoli alterni interni che sono congruenti, piu' nello specifico:
D di APD congruente a B di BPC
A di APD congruente a C si BPC
quindi tutti e tre gli angoli sono congruenti: basta per dire che sono equivalenti i due triangoli?
:hi
posso chiederti se puoi controllare quest' altro problema di geometria: l'ho fatto io pero' non sono davvero sicura.. ihih!
_dimostra che le diagonali di un trapezio lo dividono in 4 triangoli: due dei quali sono equivalenti_
dopo aver fatto il disegno del trapezio ABCD ( non rettangolo ne' isoscele ) e aver disegnato le diagonali AC e BD e aver chiamato P il punto d'intersezione delle diagonali, la tesi e': APD equivalente PCB ( e' giusto considerare questi due triangoli?)
comunque la dimostrazione risulta essere:
gli angoli in P dei triangoli APD e CPB sono congruenti perche' opposti al vertice;
consideriamo ora le due basi del trapezio: esse sono parallele e le due diagonali sono due trasversali, creando cosi' angoli alterni interni che sono congruenti, piu' nello specifico:
D di APD congruente a B di BPC
A di APD congruente a C si BPC
quindi tutti e tre gli angoli sono congruenti: basta per dire che sono equivalenti i due triangoli?
:hi
Affinchè due triangoli siano congruenti, devono avere, oltre a due angoli congruenti (che ovviamente garantiscono anche il terzo ) anche almeno un lato congruente, altrimenti i triangoli sono solo simili.
Attenzione al testo: il problema chiede di dimostrare che i triangoli siano EQUIVALENTI, non congruenti.
Due poligoni sono equivalenti se hanno la stessa area..
Per capire quali di questi due triangoli più probabilmente saranno equvalenti, prendiamo il caso particolare di un trapezio isoscele.
Con le valutazioni del teorema di Talete, (ovvero delle parallele tagliate da una trasversale) e degli angoli opposti al vertice, dimostri che i triangoli sono simili a due a due.
Nel caso particolare, i triangoli che hanno come lati le basi del trapezio, sono simili (hanno gli angoli congruenti, ma il lato corrispondente alla base minore del trapezio è il corrispondente del lato dell'altro triangolo corrispondente alla base maggiore del trapezio).
Mentre i triangoli aventi un lato coincidente con i lati obliqui, sono congruenti perchè oltre a d avere gli angoli congruenti hanno anche un lato congruente (ovvero il lato obliquo del trapezio) e pertanto in quanto triangoli congruenti, saranno anche equivalenti!
Pertanto, dal momento che in questo caso particolare, abbiamo solo due triangoli equivalenti (e congruenti) ne verifichiamo l'equivalenza in un caso generico..
Chiamiamo AB la base maggiore (A in basso a sinistra, B in basso a destra) e CD la base minore (C in alto a destra), P il punto di intersezione delle diagonali.
Consideriamo i due triangoli ABD e ABC. I due triangoli sono equivalenti, perchè hanno stessa base AB e stessa altezza (ovvero l'altezza del trapezio).
Ora consideriamo i due triangoli ADP e BCP.
Le rispettive Aree, sono date dalle aree dei triangoli ABD e ABC (equivalenti), da cui togliamo l'area del triangolo ABP.
Pertanto se da quantità identiche togliamo un'altra quantità identica otteniamo nuovamente una quantità identica, e dunque le aree cercate sono uguali e i due triangoli in questione equivalenti (ma non congruenti!)
Attenzione al testo: il problema chiede di dimostrare che i triangoli siano EQUIVALENTI, non congruenti.
Due poligoni sono equivalenti se hanno la stessa area..
Per capire quali di questi due triangoli più probabilmente saranno equvalenti, prendiamo il caso particolare di un trapezio isoscele.
Con le valutazioni del teorema di Talete, (ovvero delle parallele tagliate da una trasversale) e degli angoli opposti al vertice, dimostri che i triangoli sono simili a due a due.
Nel caso particolare, i triangoli che hanno come lati le basi del trapezio, sono simili (hanno gli angoli congruenti, ma il lato corrispondente alla base minore del trapezio è il corrispondente del lato dell'altro triangolo corrispondente alla base maggiore del trapezio).
Mentre i triangoli aventi un lato coincidente con i lati obliqui, sono congruenti perchè oltre a d avere gli angoli congruenti hanno anche un lato congruente (ovvero il lato obliquo del trapezio) e pertanto in quanto triangoli congruenti, saranno anche equivalenti!
Pertanto, dal momento che in questo caso particolare, abbiamo solo due triangoli equivalenti (e congruenti) ne verifichiamo l'equivalenza in un caso generico..
Chiamiamo AB la base maggiore (A in basso a sinistra, B in basso a destra) e CD la base minore (C in alto a destra), P il punto di intersezione delle diagonali.
Consideriamo i due triangoli ABD e ABC. I due triangoli sono equivalenti, perchè hanno stessa base AB e stessa altezza (ovvero l'altezza del trapezio).
Ora consideriamo i due triangoli ADP e BCP.
Le rispettive Aree, sono date dalle aree dei triangoli ABD e ABC (equivalenti), da cui togliamo l'area del triangolo ABP.
Pertanto se da quantità identiche togliamo un'altra quantità identica otteniamo nuovamente una quantità identica, e dunque le aree cercate sono uguali e i due triangoli in questione equivalenti (ma non congruenti!)
ah.. ok.. grazie x l'aiuto! :)
ve l'ho detto.. non e' il mio forte la geometria.. xD
:hi
ve l'ho detto.. non e' il mio forte la geometria.. xD
:hi
perfetto. chiudo
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