Geometria solida dimostrazione

[dilettabenedetti]

Qual è la dimostrazione della superficie della sfera? Il mio prof l'ha dimostrata prima inscrivendo in un cerchio un poligono e dopo circoscrivendo al cerchio un poligono. Alla fine, dopo i dovuti calcoli, si arriva a dimostrare che la superficie della sfera è compresa tra quella del poligono inscritto e circoscritto; fatto sta che non ci ho capito nulla.

Qualcuno può darmi una mano?

Grazie!

[giammaria2]

Ti do una dimostrazione non rigorosa, ma penso che possa aiutarti a capire quella del tuo professore. Suddividi la sfera in tanti pezzetti, così piccoli da poterli considerare piani; sia $S_k$ l'area del k-esimo pezzetto. Congiungi ora i bordi di questo pezzetto col centro, ottenendo una piramide di base $S_k$ ed altezza $r$ e quindi di volume $V_k=1/3S_k*r$.
Fai lo stesso per tutti i pezzetti e somma questi volumi: otterrai il volume $V$ della piramide. Quindi

$V=V_1+V_1+V_3+...=1/3S_1*r+1/3S_2*r+1/3S_3*r+...=1/3r(S_1+S_2+S_3+...)$

Ma sai il volume della sfera e la parentesi dà la sua superficie $S$; perciò

$4/3pir^3=1/3rS->S=4pir^2$