Geometria - rette, punti e triangoli

[Erreelle]

Salve, se possibile mi servirebbe la correzione di questo esercizio:

Sia B la proiezione ortogonale del punto

[math]A(4,-2)[/math]

sulla retta

[math]r :\; 2 x - 3 y + 12 = 0[/math]

; rappresentare graficamente il triangolo AOB e trovarne perimetro ed area.

Per trovare la proiezione ortogonale del punto A sulla retta r trovo la retta s perpendicolare ad r e passante per A.
Il coefficiente angolare m della retta r è

[math]m=\frac{2}{3}[/math]

.
La retta s avrà quindi il coefficiente angolare

[math]m'=-\frac{1}{m}[/math]

:

[math]y+2=-\frac{3}{2}(x-4)\\
y=-\frac{3}{2}x+4\\
s:\;3x+2y-8=0[/math]

Metto a sistema r ed s per trovare il punto B. Calcolo 3r-2s per trovare y:

[math]0-9y-4y+36+16=0 \to -13y+52 \to y=0[/math]

Trovato y calcolo x e ottengo il punto

[math]B(0,4)[/math]

Calcolo l'area:

[math]\left | \frac{1}{2} \begin{vmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 4 & 1\\
4 & -2 & 1
\end{vmatrix} \right |=\left | \frac{1}{2} (-16) \right |=8[/math]

Per trovare il perimetro calcolo la lunghezza dei segmenti OA, OB e AB:

[math]\overline{OB}=4\\
\overline{OA}=\sqrt{(0-4)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{20}\\
\overline{AB}\sqrt{(4-0)^{2}+(-2-4)^{2}}=\sqrt{50}\\
2p=4+2sqrt{5}+5sqrt{2}[/math]

L'esercizio è corretto? Si sarebbe potuto risolvere in modo più semplice?

[romano90]

Sì, è tutto giusto, tranne AB:

[math]\overline{AB}=\sqrt{(4-0)^{2}+(-2-4)^{2}}= \sqrt{52} = 2\sqrt{13}[/math]

Quindi il perimetro diventa:

[math]2p= 4+2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{13}[/math]

[Erreelle]

Grazie mille :)
Faccio sempre questi stupidi errori di calcolo...

Se e quando avrai tempo e voglia potresti dare uno sguardo anche a QUESTO thread che ho aperto ieri?