Geometria - Rette per un punto e tangenti a una circonferenza

[Erreelle]

Salve, se possibile mi servirebbe una mano con questo esercizio:

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

[math]R(O,i,j)[/math]

, determinare le equazioni delle rette passanti per il punto

[math]P(-3,-\frac{19}{3})[/math]

e tangenti alla circonferenza di equazione

[math]x2 + y 2 + 6x - 4y - 12 = 0[/math]

.

[math][4x - 3y - 7 = 0;\; 4x + 3y + 31 = 0][/math]

Ho trovato il centro e il raggio della circonferenza:

[math]C(-3,2)\\r=5[/math]

Ho pensato cercare le rette del fascio proprio passanti per P distanti r dalla circonferenza sfruttando la formula per il calcolo della distanza punto-retta.

Fascio proprio con centro P:

[math]y + \frac{19}{3} = m (x+3) \to mx-y+3m-\frac{19}{3}=0\\
\frac{\left | -3m-2+3m-\frac{19}{3} \right |}{\sqrt{m^{2}+1}}=5[/math]

L'impostazione penso sia corretta, però mi perdo nel calcolo dei valori di

[math]m[/math]

.

[mark930]

devi elevare ambo i membri al quadrato, così elimini la radice quadrata al denominatore.

[ciampax]

L'equazione diventa

[math]\frac{\frac{25}{3}}{\sqrt{m^2+1}}=5[/math]

e quindi

[math]\sqrt{m^2+1}=\frac{5}{3}[/math]

da cui

[math]m^2+1=\frac{25}{9}\ \Rightarrow\ m^2=\frac{16}{9}[/math]

e quindi le soluzioni

[math]m=\pm\frac{4}{3}[/math]

[Erreelle]

Grazie per le risposte,
la difficoltà per me stava nel passare da

[math]\frac{\frac{25}{3}}{\sqrt{m^2+1}}=5[/math]

a

[math]\sqrt{m^2+1}=\frac{5}{3}[/math]

ma alla fine grazie alla soluzione di ciampax sono riuscito a ricavare i passaggi intermendi (almeno credo :D):

[math]\frac{\frac{25}{3}}{\sqrt{m^2+1}}=5[/math]

[math]\frac{25}{3\sqrt{m^2+1}}=5[/math]

[math]\frac{3\sqrt{m^2+1}}{25}=\frac{1}{5}[/math]

[math]\sqrt{m^2+1}=\frac{1}{5}\frac{25}{3}[/math]

[math]\sqrt{m^2+1}=\frac{5}{3}[/math]