Geometria - Rettangolo, punti, dimostrazioni
Perfavore sapete fare questi problemaaa?' :dead
NOTA DEL MODERATORE: la prossima volta non usare titoli del tipo "aiuto".. ma qualcosa che abbia a che fare con il problema vero e proprio!
NOTA DEL MODERATORE: la prossima volta non usare titoli del tipo "aiuto".. ma qualcosa che abbia a che fare con il problema vero e proprio!
Risposte
Secondo me la figura del tuo problema è quella allegata:
Se AB=BC*sqrt (3) allora il rettangolo considerato è formato da due triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60°.
Per avere un rombo APCQ, i punti P e Q, secondo me devono essere nella posizione indicata, e altro non sono che i punti d'incontro della bisettrice dell'angolo di 60° dei due triangoli rettangoli sui rispettivi cateti maggiori.
Quindi si tratta di dimostrare che CP=AP=CQ=AQ.
Si potrebbe iniziare considerando che i triangoli ACB a BCP sono simili in quanto hanno gli angoli corrispondenti congruenti.
Quindi possiamo metterne in proporzione i lati e ricavare BP e PC.
Con BP possiamo ricavare AP e di conseguenza verificare se è effettivamente uguale a PC.
Stesso discorso per il triangolo ACD e AQD (da cui ricaviamo AQ e DQ, e di conseguenza CQ).
Se con i calcoli il tutto viene soddisfatto allora APCQ è un rombo, di cui, sapendo il lato e l'altezza relativa al lato (nota che PH èuguale a BC) puoi calcolare l'area come CQ*PH...
... e questa confrontarla con l'area del tuo rettangolo.
Se invece i lati PC AP AQ CQ non sono uguali con i punti P e Q determinate dalle bisettrici... allora non saprei come aiutarti.
:hi
Massimiliano
Se AB=BC*sqrt (3) allora il rettangolo considerato è formato da due triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60°.
Per avere un rombo APCQ, i punti P e Q, secondo me devono essere nella posizione indicata, e altro non sono che i punti d'incontro della bisettrice dell'angolo di 60° dei due triangoli rettangoli sui rispettivi cateti maggiori.
Quindi si tratta di dimostrare che CP=AP=CQ=AQ.
Si potrebbe iniziare considerando che i triangoli ACB a BCP sono simili in quanto hanno gli angoli corrispondenti congruenti.
Quindi possiamo metterne in proporzione i lati e ricavare BP e PC.
Con BP possiamo ricavare AP e di conseguenza verificare se è effettivamente uguale a PC.
Stesso discorso per il triangolo ACD e AQD (da cui ricaviamo AQ e DQ, e di conseguenza CQ).
Se con i calcoli il tutto viene soddisfatto allora APCQ è un rombo, di cui, sapendo il lato e l'altezza relativa al lato (nota che PH èuguale a BC) puoi calcolare l'area come CQ*PH...
... e questa confrontarla con l'area del tuo rettangolo.
Se invece i lati PC AP AQ CQ non sono uguali con i punti P e Q determinate dalle bisettrici... allora non saprei come aiutarti.
:hi
Massimiliano
''LA POZIONONE DI P SU AB,DI Q SU CD è UNIVOCAMENTE DETERMINATA'' che significa??
Significa che P e Q, perchè APCQ sia un rombo, devono per forza essere in quella determinata posizione non in altre.
... sciocco che sono!!!
E' logico che sono i punti determinati dall'intersezione delle bisettrici degli angoli di 60° con i rispettivi cateti maggiori, basta guardare il triangolo APC: gli angoli PCA e PAC sono entrambi di 30° quindi il triangolo APC è isoscele e il lati PC e AP sono uguali... PIU' SEMPLICE DI COSI'!?
Lo stesso vale per il triangolo AQC e i lati AQ e QC.
Il punto P e il punto Q possono essere solo in quella posizione, altrimenti i due triangoli sopra citati non saranno mai isosceli.
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Usa questa come soluzione, che è molto più lineare della precedente...
:hi
Massimiliano
... sciocco che sono!!!
E' logico che sono i punti determinati dall'intersezione delle bisettrici degli angoli di 60° con i rispettivi cateti maggiori, basta guardare il triangolo APC: gli angoli PCA e PAC sono entrambi di 30° quindi il triangolo APC è isoscele e il lati PC e AP sono uguali... PIU' SEMPLICE DI COSI'!?
Lo stesso vale per il triangolo AQC e i lati AQ e QC.
Il punto P e il punto Q possono essere solo in quella posizione, altrimenti i due triangoli sopra citati non saranno mai isosceli.
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Usa questa come soluzione, che è molto più lineare della precedente...
:hi
Massimiliano
ma per dimostrare che sono perforza in qlla posizione dimostri che CP=AQ?
Esatto, perchè, per essere un rombo deve avere i lati uguali, quindi CP = AP = AQ = QC (I triangoli APC e AQC sono congruenti in quanto hanno un lato in comune, AC, e gli angoli corrispondenti congruenti)...
... inoltre devono essere paralleli gli angoli opposti:
AP e QC sono paralleli perchè giacciono sui lati opposti del rettangolo
AQ e CP sono paralleli perchè gli angoli PCA e CAQ sono congruenti per costruzione (angoli generati dalla bisettrice CP e AQ su angoli di 60°) e rappresentano gli angoli alterni interni di rette parallele tagliate da trasversale (AC).
... inoltre devono essere paralleli gli angoli opposti:
AP e QC sono paralleli perchè giacciono sui lati opposti del rettangolo
AQ e CP sono paralleli perchè gli angoli PCA e CAQ sono congruenti per costruzione (angoli generati dalla bisettrice CP e AQ su angoli di 60°) e rappresentano gli angoli alterni interni di rette parallele tagliate da trasversale (AC).
ok grazie della spieg. un'altra dom. poi quado li confronto scrivo come si fa l'area del rombo fratto cm si fa l'rea del rettangolo?? e poi nn ho piu nulla da giustificare? nn devo trovare dei numeri al posto dei segmenti vero??:3
...beh, in effetti, l'ultima domanda chiede quanto vale il rapporto tra le aree...
... quindi viene richiesto un valore.
In pratica ti basta trovare quanto vale PC rispetto a BC...
... ora sapendo che anche il triangolo rettangolo BCP ha gli angoli di 30° 60° e 90° (L'angolo BCP è di 30° per via della bisettrice, gli altri lo sono di conseguenza...), avrai che
Quindi l'area del rombo varrà:
Area rombo = lato * altezza = QC*PH =
L'area del rettangolo, per i dati del problema, vale
Area rettangolo = AB*BC =
Di conseguenza:
Area rombo / Area rettangolo =
... ecco fatto, spero tu sia soddisfatta del lavoro ;)
Aggiunto 3 minuti più tardi:
... le formule sono quelle particolari per il triangolo rettangolo 30° / 60°...
... se non le ricordavi le puoi trovare qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_rettangolo#Triangolo_Rettangolo_30.C2.B0-60.C2.B0
... quindi viene richiesto un valore.
In pratica ti basta trovare quanto vale PC rispetto a BC...
... ora sapendo che anche il triangolo rettangolo BCP ha gli angoli di 30° 60° e 90° (L'angolo BCP è di 30° per via della bisettrice, gli altri lo sono di conseguenza...), avrai che
[math] PC = AP = AQ = QC = \frac {2\;.\;BC}{\sqrt 3} [/math]
Quindi l'area del rombo varrà:
Area rombo = lato * altezza = QC*PH =
[math] \frac {2\;.\;BC}{\sqrt 3} \;.\;BC = \frac {2\;.\;BC^2}{\sqrt 3} [/math]
L'area del rettangolo, per i dati del problema, vale
Area rettangolo = AB*BC =
[math] (BC\;.\; \sqrt 3)\;.\;BC = BC^2\;.\; \sqrt 3 [/math]
Di conseguenza:
Area rombo / Area rettangolo =
[math] \frac {2\;.\;BC^2}{\sqrt 3} \;.\; \frac {1}{BC^2\;.\; \sqrt 3 [/math]
[math] \frac {2\;.\;\not {BC^2}}{\sqrt 3} \;.\; \frac {1}{\not {BC^2}\;.\; \sqrt 3} = \frac {2}{3} [/math]
... ecco fatto, spero tu sia soddisfatta del lavoro ;)
Aggiunto 3 minuti più tardi:
... le formule sono quelle particolari per il triangolo rettangolo 30° / 60°...
... se non le ricordavi le puoi trovare qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_rettangolo#Triangolo_Rettangolo_30.C2.B0-60.C2.B0
lho fatto cosi ma la mia prof dice che nn è del tutto corretto. e' giusto che ho lavorato con gli angoli pero' io devo dimostrare perchè questi 2 punti devono stre xforza in quelle posizioni.come lo dimostro?? :scratch
Aggiunto 1 ora 30 minuti più tardi:
quando hai cacolato il rapporto hai detto che l'area del rombo è base x h ma l'area del rombo è (d1xd2):2
Aggiunto 1 ora 30 minuti più tardi:
quando hai cacolato il rapporto hai detto che l'area del rombo è base x h ma l'area del rombo è (d1xd2):2
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