Geometria razionale - esercizio

[GualtieroMalghesi]

Buongiorno, vorrei esporvi un esercizio di geometria razionale. Gli argomenti che ho trattato, da solo, fino ad ora, sono: nozioni fondamentali, i triangoli, rette parallele e loro applicazioni, luoghi geometrici e parallelogrammi.
Ecco il testo:
Sui lati congruenti $AB$ e $AC$ del triangolo isoscele $ABC$ si costruiscono esternamente al triangolo i triangoli equilateri $ABD$ e $ACE$.
1. dimostrare che i triangoli $DCB$ e $BEC$ sono congruenti;
2. Sia $O$ il punto d’incontro di $DC$ e $BE$; dimostrare che i due triangoli $OEC$ e $OBD$ sono congruenti;
3. Dimostrare che $AO$ è asse di $BC$.






Ipotesi
$AB~=AC$
$C\hatBA~=A\hatCB$
$ABD$ e $ACE$ equilateri
Tesi
$DCB~=BEC$
$OEC~=OBD$
$AO$ è asse di $BC$.

1. Considero i triangoli $DCB$ e $BEC$

$DB~=EC$ per ipotesi ($ABD$ e $ACE$ equilateri)
$BC$ in comune
$C\hatBD~=E\CB$ somma di angoli rispettivamente congruenti sono congruenti (essendo $C\hatBA~=A\hatCB$ e i rispettivi consecutivi pari a $1/3\pi$ perché angoli di triangoli equilateri)

$DCB~=BEC$ per il primo criterio di equivalenza*

Considero il triangolo $ABC$

$ABC$ è isoscele per ipotesi, quindi i punti $B$ e $C$ sono equidistanti da $A$. Tracciando la mediana $AM$ rispetto a $BC$ trovo l’asse di $BC$. Questo implica che tutti i punti dell’asse sono equidistanti da $B$ e da $C$ e che i segmenti $BO$ e $OC$ sono congruenti**

Sapendo che $OB~=EB$ perché lati corrispondenti in triangoli congruenti (come dimostrato*) ed essendo $BO~=OC$ si può dimostrare che $DO~=OE$ perché differenza di segmenti rispettivamente congruenti sono congruenti***

2. Ora considero i triangoli $OEC$ e $OBD$

$DB~=EC$ per ipotesi
$BO~=OC$ come dimostrato**
$DO~=OE$ come dimostrato***

$OEC~=OBD$ per il terzo criterio di congruenza

3. Il segmento $AO$ appartiene all’asse di $BC$ è quindi asse di $BC$

Cosa ne pensate?

Grazie.

[giammaria2]

Bene nel complesso, ma usi il fatto che $O$ stia sulla mediana $AM$ e questo non è dimostrato. Puoi però notare che dall'eguaglianza dei primi due triangoli consegue $D hat CB=EhatBC$ e quindi il triangolo $BCO$ è isoscele: $OB=OC$.
Sperando di aver scritto tutti i punti nel modo giusto.