Geometria: Primo criterio di isometria dei triangoli
BUongiorno, sfogliando il libro di Geometria che in futuro studierò, mi è sorto un dubbio sulla dimostrazione che fa il libro del primo criterio di isometria dei triangoli.
Enunciato del Teorema
Se due triangoli hanno due lati e l'angolo tra essi compreso, rispettivamente, isometrici, allora sono isometrici.
Nella dimostrazione, il libro, fa uso del principio del trasporto degli angoli.
Il mio dubbio proviene da ciò che invece ho letto su wikipedia sullo stesso teorema, in particolare da questo estratto:
"Questo criterio va preso come postulato. Euclide, negli Elementi, ne dà una dimostrazione, effettuata tramite il trasporto di segmenti e di angoli (I, 4). Questo metodo, tuttavia, non è valido, come è stato mostrato dalla matematica moderna, quindi l'intera dimostrazione viene invalidata, come ha fatto notare David Hilbert.[1][2] Questo criterio costituisce l'assioma III.6 degli assiomi di Hilbert. Esso non può essere generalizzato nella forma due triangoli sono congruenti se hanno un angolo, uno dei lati ad esso adiacenti e il lato ad esso opposto ordinatamente congruenti, come si fa nel secondo criterio"
Quindi, secondo Wikipedia, l'uso che il mio libro fa del principio del trasporto degli angoli è errato e non più valido.
Chiedo a voi, quindi, chi ha ragione?
Grazie a chiunque mi risponderà.
Enunciato del Teorema
Se due triangoli hanno due lati e l'angolo tra essi compreso, rispettivamente, isometrici, allora sono isometrici.
Nella dimostrazione, il libro, fa uso del principio del trasporto degli angoli.
Il mio dubbio proviene da ciò che invece ho letto su wikipedia sullo stesso teorema, in particolare da questo estratto:
"Questo criterio va preso come postulato. Euclide, negli Elementi, ne dà una dimostrazione, effettuata tramite il trasporto di segmenti e di angoli (I, 4). Questo metodo, tuttavia, non è valido, come è stato mostrato dalla matematica moderna, quindi l'intera dimostrazione viene invalidata, come ha fatto notare David Hilbert.[1][2] Questo criterio costituisce l'assioma III.6 degli assiomi di Hilbert. Esso non può essere generalizzato nella forma due triangoli sono congruenti se hanno un angolo, uno dei lati ad esso adiacenti e il lato ad esso opposto ordinatamente congruenti, come si fa nel secondo criterio"
Quindi, secondo Wikipedia, l'uso che il mio libro fa del principio del trasporto degli angoli è errato e non più valido.
Chiedo a voi, quindi, chi ha ragione?
Grazie a chiunque mi risponderà.
Risposte
Dipende da quali assiomi ha impostato il tuo libro. Se mette tra gli assiomi il principio del trasporto, allora lo può usare nella dimostrazione. In geometria è impossibile dire se una dimostrazione è corretta o no, se non si conosce il sistema assiomatico che le sta dietro.
Ciao @melia, da quanto tempo Tutto bene?
Il libro lo mette tra gli assomi quando parla degli Angoli. Lo chiama "Assioma del trasporto dei segmenti".
Quello che wikipedia sembra però dire è che l'uso di tale assioma è stato dimostrato fallace e quindi non è da utilizzare. Almeno così ho capito. Erro?
Grazie.
Tutto bene?Il libro lo mette tra gli assomi quando parla degli Angoli. Lo chiama "Assioma del trasporto dei segmenti".
Quello che wikipedia sembra però dire è che l'uso di tale assioma è stato dimostrato fallace e quindi non è da utilizzare. Almeno così ho capito. Erro?
Grazie.
L'assioma di per sè non è fallace, quell'assioma contiene al suo interno delle implicazioni che uno non si sarebbe aspettato.
Un assioma non va bene se è in contraddizione con gli altri assiomi della teoria, ma questo non mi sembra in contraddizione.
[ot]Quasi tutto bene, domani inizio con gli esami di riparazione e ho passato il pomeriggio a ricontrollare le prove da assegnare ai miei studenti. In vacanza si stava meglio!
[/ot]
Un assioma non va bene se è in contraddizione con gli altri assiomi della teoria, ma questo non mi sembra in contraddizione.
[ot]Quasi tutto bene, domani inizio con gli esami di riparazione e ho passato il pomeriggio a ricontrollare le prove da assegnare ai miei studenti. In vacanza si stava meglio!
[/ot]
A mio avviso il primo criterio di congruenza (o di isometria, attualmente) dei triangoli è valido nel sistema assiomatico di Euclide, mentre non lo è in sistemi che prevedono assiomi diversi, i quali, e questo, a mio avviso, è l'importante, hanno lo stesso diritto di cittadinanza nella geometria di quello euclideo.
Un sistema assiomatico è valido se e soltanto se non contiene contraddizioni. Basta considerare la fioritura di sistemi validi (e, aggiungo, utilissimi) nata dalla negazione del V di Euclide. Non mi voglio dilungare oltre, salvo ricordare che quel sistema, come tutti gli altri, non può essere completo (Godel, 1931). Ma (e con ciò concordo) la coerenza è preferibile di gran lunga alla completezza.
Un sistema assiomatico è valido se e soltanto se non contiene contraddizioni. Basta considerare la fioritura di sistemi validi (e, aggiungo, utilissimi) nata dalla negazione del V di Euclide. Non mi voglio dilungare oltre, salvo ricordare che quel sistema, come tutti gli altri, non può essere completo (Godel, 1931). Ma (e con ciò concordo) la coerenza è preferibile di gran lunga alla completezza.
Grazie a tutti Magari ci ritorneremo quando studierò l'argomento citato.
Magari ci ritorneremo quando studierò l'argomento citato.
Il punto è questo e lo rimetto in evidenza.
Lessi qualche tempo fa che oltre a Hilbert (nei suoi Grundlagen der Geometrie) ce n'è stato un'altro (Moore, mi pare
) che ha proposto un'assiomatica per la geometria euclidea diversa da quella di Hilbert in assiomi cruciali, ma equivalente in quanto un assioma di Hilbert diventava un teorema per Moore, un'assioma di Moore diventa teorema per Hilbert. Vedo di recuperare il pdf con gli assiomi di Moore.
Per quanto riguarda quello che ha portato alla nostra attenzione: Euclide con il concetto intuitivo di congruenza (lui usa uguaglianza) vuole sistemare una volta per tutte quello che è il movimento rigido delle figure nello spazio e nel piano e, pensando che fosse bastato, ha "peccato" di hybris fornendo una dimostrazione del primo criterio di congruenza dei triangoli. Perché? Semplicemente ha usato con troppa libertà in quella dimostrazione il concetto di congruenza/movimento rigido. E sarebbe stata una buona dimostrazione se non fosse che lui di movimento rigido non parla, fonda una geometria non metrica e, cosa più importante, si rifiuta di citare la realtà fisica non citando neppure le sue amate riga e compasso. Visto che il concetto di movimento rigido non è citato tra quelli primitivi e il concetto di uguaglianza viene spiegato come relazione di equivalenza e basta, oggi al massimo la "dimostrazione" di Euclide può essere presa come giustificazione addotta per la bontà e la sensatezza del primo criterio. In questo senso il primo criterio è un'assioma.
Però se cambio l'assiomatica in modo da renderla più loquace sul trasporto rigido, si può dimostrare in senso moderno il primo criterio.
Ti lascio dei riferimenti bibliografici: uno è questo; e poi c'è quest'altro (è in tedesco).
"@melia":
Dipende da quali assiomi ha impostato il tuo libro (...) è impossibile dire se una dimostrazione è corretta o no, se non si conosce il sistema assiomatico che le sta dietro.
Lessi qualche tempo fa che oltre a Hilbert (nei suoi Grundlagen der Geometrie) ce n'è stato un'altro (Moore, mi pare
) che ha proposto un'assiomatica per la geometria euclidea diversa da quella di Hilbert in assiomi cruciali, ma equivalente in quanto un assioma di Hilbert diventava un teorema per Moore, un'assioma di Moore diventa teorema per Hilbert. Vedo di recuperare il pdf con gli assiomi di Moore.Per quanto riguarda quello che ha portato alla nostra attenzione: Euclide con il concetto intuitivo di congruenza (lui usa uguaglianza) vuole sistemare una volta per tutte quello che è il movimento rigido delle figure nello spazio e nel piano e, pensando che fosse bastato, ha "peccato" di hybris fornendo una dimostrazione del primo criterio di congruenza dei triangoli. Perché? Semplicemente ha usato con troppa libertà in quella dimostrazione il concetto di congruenza/movimento rigido. E sarebbe stata una buona dimostrazione se non fosse che lui di movimento rigido non parla, fonda una geometria non metrica e, cosa più importante, si rifiuta di citare la realtà fisica non citando neppure le sue amate riga e compasso. Visto che il concetto di movimento rigido non è citato tra quelli primitivi e il concetto di uguaglianza viene spiegato come relazione di equivalenza e basta, oggi al massimo la "dimostrazione" di Euclide può essere presa come giustificazione addotta per la bontà e la sensatezza del primo criterio. In questo senso il primo criterio è un'assioma.
Però se cambio l'assiomatica in modo da renderla più loquace sul trasporto rigido, si può dimostrare in senso moderno il primo criterio.
Ti lascio dei riferimenti bibliografici: uno è questo; e poi c'è quest'altro (è in tedesco).
Grazie anche a te Indrjo
Eccoti altri link
https://math.berkeley.edu/~wodzicki/160/Hilbert.pdf (traduzione in inglese dei Grundlagen)
http://legacyrlmoore.org/reference/Clar ... ometry.pdf
https://archive.org/details/jstor-1986321
https://math.berkeley.edu/~wodzicki/160/Hilbert.pdf (traduzione in inglese dei Grundlagen)
http://legacyrlmoore.org/reference/Clar ... ometry.pdf
https://archive.org/details/jstor-1986321
Isometrie, congruenza, equivalenza...ma che è
Ciao @Vulplasir, che intendi?
Che uno studente di prima superiore, tra isometria, congruenza ed equivalenza ci diventa scemo
La terminologia dovrebbe essere standardizzata così ognuno usa sempre la stessa. E' anche vero che nel corso degli anni certi termini sono passati in disuso a favore di nuovi. Questo in Italiano in genere e la matematica si sarà accodata
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