Geometria piana (44009)

[letizia cirrito]

fra tutti i triagoli isosceli di perimetro 2p circoscritti a una circonferenza di raggio che misura r,determina quello per il quale è minima la somma della base e dell'altezza.

[BIT5]

Considera un triangolo isoscele qualunque circoscritto ad una circonferenza.
Chiama AB la base, C il vertice e P,Q,R i punti di tangenza dei lati del triangolo con la circonferenza, rispettivamente P sul lato AB, Q sul lato BC e R sul lato CA

Sapendo che la distanza da un punto esterno ad una circonferenza ai 2 punti di tangenza con essa e' la medesima, chiama x il segmento AP.
Allora AR=x
Inoltre essendo il triangolo isoscele, il centro della circonferenza inscritta giace sulla bisettrice dell'angolo C che divide in due la base.
Ma allora anche PB=x e di conseguenza BQ=x

Sapendo infine che CR=CQ, calcoliamo la lunghezza della somma dei segmenti CR+CQ, ovvero il perimetro a cui togliamo i segmenti noti.

CR+CQ= 2p-4x

Da cui

CR= (2p-4x)/2=p-2x

Il lato AC sara' dunque p-2x+x=p-x

L'altezza del triangolo isoscele sara', per Pitagora

[math] h= \sqrt{(p-x)^2-x^2}= \sqrt{p^2-2px+x^2-x^2}= \sqrt{p^2-2px} [/math]

La somma di base e altezza sara' dunque

[math] \sqrt{p^2-2px}+2x [/math]

Consideriamo dunque

[math] f(x)= \sqrt{p^2-2px}+2x [/math]

E studiamone la derivata prima

[math] f'(x)= \frac{1}{\no{2} \sqrt{p^2-2px}} \cdot (- \no{2}p) + 2 [/math]

E dunque

[math] \frac{-p + 2 \sqrt{p^2-2px}}{ \sqrt{p^2-2px}} [/math]

Il denominatore (quando esiste ovvero per

[math] p^2-2px >0 \to p(p-2x)>0 \to x< \frac{p}{2} [/math]

e' sempre positivo

Numeratore:

[math] 2 \sqrt{p^2-2px} > p [/math]

Dal momento che p e' la meta' del perimetro (quindi sempre positivo) dei due sistemi soliti di cui si fa l'unione nella soluzione delle disequazioni irrazionali, consideremo solo il secondo. Sara' sufficiente dunque elevare al quadrato..

[math] 4p^2-8px>p^2 \to 8px < 3p^2 \to x< \frac38 p [/math]

Per cui la funzione ha un massimo in

[math] x= \frac38 p [/math]

valore per cui e' massima la somma di base e altezza.

considerando i casi limite (ovvero

[math] 0 \le x \le 2p [/math]

) avremo la somma minima di base e altezza quando x assume i valori estremi del dominio