Geometria parallelismo

[pippo931]

salve, una domanda: il criterio sul parallelismo e l'assioma che dice: "due rette sono parallele se si incontrano all'infinito" si contraddicono? Perchè secondo la dimostrazione le due rette formerebbero un triangolo con un angolo esterno (se per ass. non sono parallele) e uno interno non adiacente ad esso uguali e questo contraddice il teor.dell'angolo esterno, ora se le rette si incontrano all'infinito il triangolo esite e ha per ipotesi un angolo esterno e uno interno ad esso non adiacente uguali e questo
è assurdo. Quindi, apparentemente (poi non lo so... è per questo che chiedo a voi esperti), o è l'assioma falso o lo è il criterio di parallelismo. no?

[Sk_Anonymous]

Ti assicuro che il criterio sul parallelismo e l'assioma secondo cui "due rette si incontrano soltanto all'infinito" non si contraddicono. Per darti una spiegazione esauriente, però, dovrei usare concetti di geometria proiettiva, che si studia all'università.
Così, su due piedi, non mi viene in mente una spiegazione "elementare", mi dispiace.

[simona841]

Ciao ! E' curioso.. anche io mi sono posta la stessa domanda alle superiori...
In geometria euclidea due rette parallele non si incontrano (infatti per definizione la distanza tra le due rette è sempre la stessa), poi vedrai, con la geometria proiettiva (appunto) che queste in realtà si incontrano in un punto all'infinito. Se vuoi visualizzarlo puoi pensare al mappamondo e ai meridiani che man mano si avvicinano per poi incontrarsi ai poli.

[pippo931]

"Sergio":[quote="matths87"]Così, su due piedi, non mi viene in mente una spiegazione "elementare", mi dispiace.

Io ci provo e tu controlli. Ok?
Date due rette passanti per l'una per il punto $P$ e l'altra per il punto $Q$, se sono incidenti si incontrano in un punto $R$ ed è possibile determinare le distanze $|P-R|$ e $|Q-R|$.
Se due rette si incontrano "soltanto all'infinito", non è possibile individuare un numero $x in RR$ tale che $x=|P-R|$ o $x=|Q-R|$, quindi... sono parallele.[/quote]

credo di aver trovato una spiegazione abbastanza intuitiva qui: http://ripmat.it/mate/f/ff/ffebc.html, se non ho capito male il triangolo non si forma in quanto il punto non si troverà mai.

prendendo questa immagine e considerando l'assioma del parallelismo all'infinito si può dire che l'angoli alterni interni (quello dove c'è la lettera A e l'altro) sono uguali con C che tende all'infinito (c'è qualchè analogia coi limiti?)

[elios2]

"pippo93": Perchè secondo la dimostrazione le due rette formerebbero un triangolo con un angolo esterno (se per ass. non sono parallele) e uno interno non adiacente ad esso uguali e questo contraddice il teor.dell'angolo esterno, ora se le rette si incontrano all'infinito il triangolo esite e ha per ipotesi un angolo esterno e uno interno ad esso non adiacente uguali e questo

Due rette non formano un triangolo, neppure nel caso limite dell'infinito. Infatti se è vero che si incontrano in un punto all'infinito è anche vero che si incontrano in un altro punto nell'"altro" infinito, cioe a pù infinito e a meno infinito. Secondo me l'errore sta nel considerare quella figura un triangolo..

[simona841]

Nelle geometrie non euclidee quella figura è un triangolo, ma nella geometria euclidea due rette parallele non si incontrano perchè hanno tra loro sempre la stessa distanza (per il V postulato di Euclide due rette paralele non si incontrano).