Geometria II anno liceo scientifico

[Matemax1]

Salve, vorrei dimostrare il seguente problema:

Dimostrare che due corde AA' e BB' parallele, condotte per gli estremi di un diametro AB di una circonferenza, sono isometriche e che il segmeto A'B' è un diametro.

Io ho provato in questa maniera:
traccio la perpendicolare al punto O che interseca la circonferenza nei punti A' e B'. In seguito traccio le due parallele (per HP).
Ora dico che i due triangoli OAA' e OBB' sono isometrici in quanto hanno due angoli uguali: uno è quello di 90° formato dalla perpendicolare nel punto O e gli altri due sono gli ancoli formati dalle due parallele tagliate dalla trasversale AB.
Detto questo dimostrare che A'B' è un diametro rimane semplice.
Secondo voi è il metodo giusto?
Grazie

[chiaraotta1]

"Matemax":....
traccio la perpendicolare al punto O che interseca la circonferenza nei punti A' e B'. In seguito traccio le due parallele (per HP).
....

Scusa, ma non capisco la costruzione .... Per favore puoi spiegare?
Cos'è il punto $O$? Il centro del cerchio? Tracci la perpendicolare a che retta? Al diametro $AB$?

[Matemax1]

Sì, traccio la perpendicolare al diametro AB passante per il punto O. Congiungo successivamente il punto A ad A' (punto di intersezione di un estremo della perpendicolare con il cerchio) e B con B' (l'altro estremo).

[Geppo2]

"Matemax":Sì, traccio la perpendicolare al diametro AB passante per il punto O. Congiungo successivamente il punto A ad A' (punto di intersezione di un estremo della perpendicolare con il cerchio) e B con B' (l'altro estremo).

Questa costruzione non è fedele al testo e ne costituisce un caso particolare. Prova, invece, dopo aver costruito le corde AA' e BB', a congiungere A' con B e A con B'. Che tipo di triangoli sono AA'B e AB'B ? Come sono tra loro? Fatto questo, puoi affermare che AA'BB' è un rettangolo e il gioco è fatto.

[chiaraotta1]

"Matemax":Sì, traccio la perpendicolare al diametro AB passante per il punto O. Congiungo successivamente il punto A ad A' (punto di intersezione di un estremo della perpendicolare con il cerchio) e B con B' (l'altro estremo).

Però in questo modo non fai quello che dice il testo: non prendi da $A$ e da $B$ una coppia qualsiasi di corde parallele, ma una coppia sola di corde particolari ...
Devi prendere un qualsiasi punto $A'$ sulla circonferenza (diverso da $B$), congiungerlo con $A$, condurre da $B$ una parallela ad $A$$A'$ e chiamare $B'$ il secondo punto in cui questa parallela interseca la circonferenza.

Mi sembra che si possa risolvere il problema anche così ...
Se congiungi $A'$ e $B'$ con il centro $O$ del cerchio, puoi ragionare sui triangoli $A$$A'O$ e $BB'O$. Questi sono isosceli, per costruzione, e quindi hanno $hatA=hatA'$ e $hatB=hatB'$.
Inoltre $hatA$=$hatB$, perché alterni interni rispetto alle parallele $A$$A'$ e $BB'$ tagliate dalla trasversale $AB$. Quindi i due triangoli $A$$A'O$ e $BB'O$ hanno due angoli ($hatA'=hatA=hatB=hatB'$), e perciò anche il terzo, uguali. Inoltre hanno anche un lato uguale ($AO=BO$) e dunque sono uguali. Allora $A$$A'=BB'$ e le corde sono isometriche.
D'altra parte $AhatOA'=BhatOB'$ e quindi i punti $A'$, $O$ e $B'$ sono allineati. Perciò $A'B'$ è un diametro.

[Matemax1]

Vi ringrazio. Inizialmente avevo provato a risolvere il problema prendendo il caso generale così come mi avete consigliato voi ora.
Poi come consiglio sul libro, fra parentesi, c'era scritto di procedere tracciando la perpendicolare alle due corde AA' e BB' passante per O e sono stato tratto in inganno perché ho tracciato la perpendicolare al diametro...sbagliando.
Grazie