Geometria euclidea: Dimostrazione su circonferenze interne.
Ciao amici,
sto studiando le posizioni reciproche di due circonferenze e vorrei dimostrare una proposizione che il libro si limita ad enunciare ma non sono sicuro della correttezza della mia dimostrazione. L'enunciato è il seguente:
"Data una circonferenza interna ad un'altra, la distanza fra i centri è minore della differenza dei raggi"
La dimostrazione considera il caso di circonferenze concentriche:
Chiamo $O_1, O_2$ i centri delle rispettive circonferenze, $r_1, r_2$ i rispettivi raggi
Ragiono per assurdo e suppongo sia $O_1O_2>=|r_1-r_2|$. Si verificano due casi:
-$O_1O_2=|r_1-r_2|$
Dal momento che le circonferenze sono concentriche allora $O_1O_2=0 rarr r_1-r_2=0 rarr r_1=r_2$ e dunque le circonferenze risultano coincidenti; ciò è assurdo in quanto avevamo supposto le circonferenze concentriche.
-$O_1O_2>|r_1-r_2|$
Dal momento che $O_1O_2=0$ e, per definizione di circonferenza interna ad un'altra $r_1ner_2$, allora avremmo $0> |r_1-r_2|$ il che ovviamente è impossibile.
È corretto?
sto studiando le posizioni reciproche di due circonferenze e vorrei dimostrare una proposizione che il libro si limita ad enunciare ma non sono sicuro della correttezza della mia dimostrazione. L'enunciato è il seguente:
"Data una circonferenza interna ad un'altra, la distanza fra i centri è minore della differenza dei raggi"
La dimostrazione considera il caso di circonferenze concentriche:
Chiamo $O_1, O_2$ i centri delle rispettive circonferenze, $r_1, r_2$ i rispettivi raggi
Ragiono per assurdo e suppongo sia $O_1O_2>=|r_1-r_2|$. Si verificano due casi:
-$O_1O_2=|r_1-r_2|$
Dal momento che le circonferenze sono concentriche allora $O_1O_2=0 rarr r_1-r_2=0 rarr r_1=r_2$ e dunque le circonferenze risultano coincidenti; ciò è assurdo in quanto avevamo supposto le circonferenze concentriche.
-$O_1O_2>|r_1-r_2|$
Dal momento che $O_1O_2=0$ e, per definizione di circonferenza interna ad un'altra $r_1ner_2$, allora avremmo $0> |r_1-r_2|$ il che ovviamente è impossibile.
È corretto?
Risposte
Dove sta scritto che le circonferenze sono concentriche?
Due circonferenze possono essere una interna all'altra anche non essendo concentriche. Ad esempio:
[asvg]noaxes();
circle([1,1], 1); circle([0,0],3);[/asvg]
Due circonferenze possono essere una interna all'altra anche non essendo concentriche. Ad esempio:
[asvg]noaxes();
circle([1,1], 1); circle([0,0],3);[/asvg]
Certamente. Siccome non riuscivo considerando un caso analogo al tuo, mi sembrava evidente tramite il caso di circonferenze concentriche, ma così è parziale e credo si dimostri solo un caso banale.
Successivamente ho fatto questa, se ti va dimmi se può andare:
Consideriamo due circonferenze l'una interna all'altra $C_1, C_2$, con $C_1$ di raggio maggiore $C_2$.
Chiamo $O_1,O_2$ i centri delle rispettive circonferenze, $r_1,r_2$ i rispettivi raggi.
Prolungando una semiretta con origine $O_1$ passante per $O_2$, questa necessariamente intersecherà $C_1, C_2$ rispettivamente nei punti $P$, $Q$.
Poichè, per definizione di circonferenza interna ad un'altra tutti i punti di $C_2$ sono contenuti in $C_1$, allora i punti $O_2$, $Q$ appartengono anche a $C_1$ e dunque fanno parte della semiretta.
Per le proprietà relative alle posizioni fra rette e circonferenze, la distanza fra $O_1$ e $P$ è uguale al raggio, quindi $O_1P=r_1$.
Per le analoghe proprietà, la distanza fra $O_2$ e $P$ è invece maggiore del raggio, quindi $O_2P>r_2$ poichè $r_2=O_2P-QP$.
Possiamo dedurre che $r_1-r_2-QP=O_1O_2$ e dunque $r_1-r_2>O_1O_2$.
Successivamente ho fatto questa, se ti va dimmi se può andare:
Consideriamo due circonferenze l'una interna all'altra $C_1, C_2$, con $C_1$ di raggio maggiore $C_2$.
Chiamo $O_1,O_2$ i centri delle rispettive circonferenze, $r_1,r_2$ i rispettivi raggi.
Prolungando una semiretta con origine $O_1$ passante per $O_2$, questa necessariamente intersecherà $C_1, C_2$ rispettivamente nei punti $P$, $Q$.
Poichè, per definizione di circonferenza interna ad un'altra tutti i punti di $C_2$ sono contenuti in $C_1$, allora i punti $O_2$, $Q$ appartengono anche a $C_1$ e dunque fanno parte della semiretta.
Per le proprietà relative alle posizioni fra rette e circonferenze, la distanza fra $O_1$ e $P$ è uguale al raggio, quindi $O_1P=r_1$.
Per le analoghe proprietà, la distanza fra $O_2$ e $P$ è invece maggiore del raggio, quindi $O_2P>r_2$ poichè $r_2=O_2P-QP$.
Possiamo dedurre che $r_1-r_2-QP=O_1O_2$ e dunque $r_1-r_2>O_1O_2$.
Direi che va bene.
Grazie per l'aiuto. 
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