Geometria euclidea

[danifabio]

due rette si incontrano perpendicolarmente nel punto O. Su una di esse, da parti opposte a O, costruisci due segmenti OP e OR; alla stessa maniera sull'altra costruisci i segmenti OQ congruente OP e OS congruente OR.
a)Dimostra che il quadrilatero PQRS è un trapezio isoscele.
b) Mantenendo fissa la misura a del segmento PS determina i quattro segmenti precedenti in modo che l'area di PQRS sia uguale a K, K>0. Nella discussione poni a=1.

[Studente Anonimo]

a) Dimostrazione:

Il quadrilatero PQRS ha le diagonali perpendicolari ed essendo per
ipotesi

[math]OP \cong OQ, \; OS \cong OR[/math]

i due triangoli rettangoli POQ
e SOR sono isosceli, quindi con angoli acuti di 45° ciascuno.

Pertanto

[math]Q\hat{P}O = O\hat{S}R = 45°[/math]

. Tali angoli sono alterni interni
delle rette PQ, SR tagliate da QS. Rette con angoli alterni interni
congruenti sono parallele e risulta quindi PQ // SR.

I triangoli rettangoli POS e QOR sono congruenti per avere i cateti
ordinatamente congruenti per ipotesi. Hanno ordinatamente
congruenti anche le ipotenuse ed è

[math]PS \cong QR\\[/math]

.

Il quadrilatero PQRS ha

[math]PQ // SR, \; PS \cong QR[/math]

ed è quindi un
trapezio isoscele di basi PQ, SR.

[math]\square\\[/math]

b) Discussione con segmento incognito:

Indica

[math]\overline{OP} := x[/math]

. Poiché OP è cateto del triangolo rettangolo POS in cui
l'ipotenusa

[math]\overline{PS} = a = 1[/math]

, deve essere

[math]0 < x < 1[/math]

. POQ e SOR sono
metà di due quadrati avendo i cateti congruenti e

[math]P\hat{O}Q = S\hat{O}R = 90°[/math]

_
per ipotesi. Da O porta la perpendicolare alle basi del trapezio che incontra
SR in H e PQ in K. Quindi esprimi tutte le lunghezze in funzione di

[math]x[/math]

, calcola
l'area di PQRS anch'essa dipendente da

[math]x[/math]

ed uguagliala a

[math]k>0\\[/math]

.

Dai, ora procedi da solo e in caso di difficoltà posta i tuoi passaggi. ;)