Geometria di base:dimostrazioni con segmenti.
Ciao a tutti, spero stiate bene!
Desidero proporvi queste mie tre dimostrazioni su problemi di geometria di base.
È la prima volta che mi cimento in questo tipo di esercizio, per cui non sono sicuro di essere riuscito a dimostrare quanto richiesto.
1) Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su una retta r, non aventi punti in comune. Dimostra che AC congruente a BC

Considero che
$AD=AB+BC+CD$
$AC≅AD-CD$
$BD≅AD-AB$
Dal momento che $AB≅CD$, avremo:
$AC≅AD-AB$
$BD≅AD-CD$, dunque
$AD-CD≅AD-AB$, che è come dire $AC≅BD$
2)Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su r, non aventi punti in comune e in modo che AB preceda CD.Dimostra che il punto medio di BC è il punto medio di AD.

Considero che:
$AM≅AD-AM$
$BM≅BC-BM$
Dal momento che $AB≅CD$
$MD≅AD-AM$
$MC≅BC-BM$, dunque:
$AM≅MD$ e $BM≅MC$
3)Siano AB e CD due segmenti congruenti adiacenti, siamo M ed N i rispettivi punti medi, dimostra che MN è congruente a CD.

Considero che:
$AB=AM+MB$
Dal momento che $AB≅CD$, avremo che:
$CD=CN+ND$, Considerato che $AB$ e $CD$ sono adiacenti avremo che:
$MN≅AB$, e di conseguenza $MN≅CD$.
Di questa avrei un'alternativa:
Considero che:
$AB=AM+MB$
Dal momento che $AB≅CD$, avremo che:
$CD=CN+ND$, dal momento che $AB$ e $CD$ sono adiacenti avremo che:
$MC≅CN$
$AB≅MC+CN$, dal momento che $MC+CN=MN$ e che $AB≅CD$, allora:
$CD≅MN$
Desidero proporvi queste mie tre dimostrazioni su problemi di geometria di base.
È la prima volta che mi cimento in questo tipo di esercizio, per cui non sono sicuro di essere riuscito a dimostrare quanto richiesto.
1) Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su una retta r, non aventi punti in comune. Dimostra che AC congruente a BC

Considero che
$AD=AB+BC+CD$
$AC≅AD-CD$
$BD≅AD-AB$
Dal momento che $AB≅CD$, avremo:
$AC≅AD-AB$
$BD≅AD-CD$, dunque
$AD-CD≅AD-AB$, che è come dire $AC≅BD$
2)Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su r, non aventi punti in comune e in modo che AB preceda CD.Dimostra che il punto medio di BC è il punto medio di AD.

Considero che:
$AM≅AD-AM$
$BM≅BC-BM$
Dal momento che $AB≅CD$
$MD≅AD-AM$
$MC≅BC-BM$, dunque:
$AM≅MD$ e $BM≅MC$
3)Siano AB e CD due segmenti congruenti adiacenti, siamo M ed N i rispettivi punti medi, dimostra che MN è congruente a CD.

Considero che:
$AB=AM+MB$
Dal momento che $AB≅CD$, avremo che:
$CD=CN+ND$, Considerato che $AB$ e $CD$ sono adiacenti avremo che:
$MN≅AB$, e di conseguenza $MN≅CD$.
Di questa avrei un'alternativa:
Considero che:
$AB=AM+MB$
Dal momento che $AB≅CD$, avremo che:
$CD=CN+ND$, dal momento che $AB$ e $CD$ sono adiacenti avremo che:
$MC≅CN$
$AB≅MC+CN$, dal momento che $MC+CN=MN$ e che $AB≅CD$, allora:
$CD≅MN$
Risposte
Nessuno?
"Stillife":
1) Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su una retta r, non aventi punti in comune. Dimostra che AC congruente a [strike]BC[/strike] BD
Considero che
$AD=AB+BC+CD$
$AC≅AD-CD$
$BD≅AD-AB$
Dal momento che $AB≅CD$, avremo:
$AC≅AD-AB$
$BD≅AD-CD$, dunque
$AD-CD≅AD-AB$, che è come dire $AC≅BD$
Più semplice:
$AC = AB + BC cong CD + BC = BD$,
in cui la prima e l'ultima uguaglianza vengono dalla definizione di somma di segmenti[nota]Se proprio si vuole trovare il pelo nell'uovo, la prima è un'uguaglianza vera e propria, la seconda una congruenza... Ma è poco importante.[/nota] e la congruenza nel mezzo deriva dall'ipotesi $AB cong CD$ e dal teorema che assicura che somme di segmenti congruenti sono congruenti.
"Stillife":
2)Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su r, non aventi punti in comune e in modo che AB preceda CD.Dimostra che il punto medio di BC è il punto medio di AD.
Considero che:
$AM≅AD-AM$
$BM≅BC-BM$
Dal momento che $AB≅CD$
$MD≅AD-AM$
$MC≅BC-BM$, dunque:
$AM≅MD$ e $BM≅MC$
Uguale a sopra:
$AM = AB + BM cong CD + MC = MD$
in cui la prima e l'ultima uguaglianza vengono dalla definizione di somma e la congruenza nel mezzo dalle ipotesi $AB cong CD, BM cong MC$ e dal teorema sulla somma di segmenti congruenti; quindi $M$ è medio anche di $AD$ (per postulato).
Non controllo il terzo, perché credo si possa scorciare come gli altri due.
Prova da solo.
Un consiglio: riassumiti le ipotesi e le tesi accanto alla figura e sulla figura segnati graficamente ciò che sai (le ipotesi); in questo modo dovrebbe apparirti tutto più semplice.
Grazie gugo per l'aiuto. Dopo le controllo a dovere.
Comunque, per quanto riguarda le due da te verificate, le mie valgono come dimostrazioni, nonostante siano, forse, prolisse o ineleganti?
Comunque, per quanto riguarda le due da te verificate, le mie valgono come dimostrazioni, nonostante siano, forse, prolisse o ineleganti?