Geometria con equazioni di secondo grado!

[Saphira_Sev]

Ciao! Potreste spiegarmi come risolvere questo problema di geometria usando se necessario un'equazione di secondo grado?

"Un rettangolo è inscritto in una circonferenza di raggio r in modo che AB=2BD (come nella figura allegata). Determina le dimensioni del rettangolo".

Grazie in anticipo :*

[carlogiannini]

Prolunga il raggio CD fino a incontrare la circonferenza nel punto E.
Allora ED è un diametro di misura
ED = 2R
e il triangolo EAD è rettangolo in A perché iscritto in una semicirconferenza.
Applicando Euclide

[math]EB*BD = AB^2[/math]

Ora:
EB = 2R - x
BD = x
AB = 2x
quindi:
.

[math](2R-x)*(x)=(2x)^2[/math]

.
.

[math]2Rx-x^2=4x^2[/math]

,
.

[math]5x^2-2Rx=0[/math]

,
.

[math]x(5x-R)=0[/math]

,
.
da qui:
.

[math]x=0[/math]

.

. oppure:

[math]5x-2R=0[/math]

,
.

[math]x=\frac{2}{5}R[/math]

Aggiunto 1 ora 29 minuti più tardi:

Le dimensioni del rettangolo sono:

[math]h=4x=\frac{8}{5}R[/math]

.

[math]b=2R-2x=\frac{6}{5}R[/math]