Geometria analitica:problema nel piano cartesiano
Spero che qualcuno di voi possa aiutarmi con la rappresentazione grafica e sullo svolgimento dell'esercizio.
La traccia è questa:"Determinare le coordinate dei vertici del triangolo individuato dalle rette di equazioni
1)x+y=1;
2)x-2y=3;
3)3y-5x-15=0.
Successivamente trovare le equazioni delle parallele ai lati condotte per i vertici del triangolo considerato."
Quindi,ditemi se sbaglio..Pensavo di fare tre sistemi,uno con la prima e la seconda equazione,il secondo con la prima e la terza equazione e l'ultimo con la seconda e la terza.
Dopo avermi trovato il punto1,2 e 3 nel piano cartesiano,li unico mediante tre rette e mi trovo il triangolo...Successivamente sapreste dirmi cosa devo fare?
Non so se quello che sto facendo è giusto oppure no
La traccia è questa:"Determinare le coordinate dei vertici del triangolo individuato dalle rette di equazioni
1)x+y=1;
2)x-2y=3;
3)3y-5x-15=0.
Successivamente trovare le equazioni delle parallele ai lati condotte per i vertici del triangolo considerato."
Quindi,ditemi se sbaglio..Pensavo di fare tre sistemi,uno con la prima e la seconda equazione,il secondo con la prima e la terza equazione e l'ultimo con la seconda e la terza.
Dopo avermi trovato il punto1,2 e 3 nel piano cartesiano,li unico mediante tre rette e mi trovo il triangolo...Successivamente sapreste dirmi cosa devo fare?
Non so se quello che sto facendo è giusto oppure no
Risposte
Come hai detto tu la prima parte si fa risolvendo quei tre sistemi, che ti restituiranno le coordinate dei tre vertici.
Fatto ciò, ricorda che due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. Ad esempio, considera la retta 1): ha coefficiente angolare pari a $-1$ (esplicitando $y$ si ottiene infatti $y=-x-1$). Dunque la generica retta parallela a 1) avrà equazione $y=-x +q$. Per trovare il $q$ che serve a te basta che imponi il passaggio per il vertice ottenuto dal sistema tra 2) e 3). Prova e fammi sapere.
Paola
Fatto ciò, ricorda che due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. Ad esempio, considera la retta 1): ha coefficiente angolare pari a $-1$ (esplicitando $y$ si ottiene infatti $y=-x-1$). Dunque la generica retta parallela a 1) avrà equazione $y=-x +q$. Per trovare il $q$ che serve a te basta che imponi il passaggio per il vertice ottenuto dal sistema tra 2) e 3). Prova e fammi sapere.
Paola
Allora,ho fatto i sistemi,utilizzando il metodo della sostituzione per risolverli e mi escono rispettivamente i punti:
P1(5/3;-2/3)
P2(-3/5;5/2)
P3(-39/7;-30/7)
Mettondo i punti nel piano mi esce un triangolo scaleno...Non so se ho fatto bene.Comunque,ho letto ciò che hai scritto,ma non ho capito dei punti:
Se esplicitiamo y dalla prima equazione ci troviamo il coefficiente angolare pari a -1,ma in quel caso q,perché è -1 se l'equazione porta x+y=1?
Poi,non ho capito bene come trovare le parallele.Non saprei nemmeno come esprimermi in questo caso,non bisogna utilizzare la formula " y-y0=m(x-x0)" con i punti che mi sono trovato?e poi non so se ripetere questa operazione tre voltre per le tre equazioni utilizzando una volta a ciascuno il coefficiente angolare di ogni equazione.
P1(5/3;-2/3)
P2(-3/5;5/2)
P3(-39/7;-30/7)
Mettondo i punti nel piano mi esce un triangolo scaleno...Non so se ho fatto bene.Comunque,ho letto ciò che hai scritto,ma non ho capito dei punti:
Se esplicitiamo y dalla prima equazione ci troviamo il coefficiente angolare pari a -1,ma in quel caso q,perché è -1 se l'equazione porta x+y=1?
Poi,non ho capito bene come trovare le parallele.Non saprei nemmeno come esprimermi in questo caso,non bisogna utilizzare la formula " y-y0=m(x-x0)" con i punti che mi sono trovato?e poi non so se ripetere questa operazione tre voltre per le tre equazioni utilizzando una volta a ciascuno il coefficiente angolare di ogni equazione.
Il coefficiente angolare è $-1$ in quanto, se lasci solamente la $y$ a sinistra nella tua equazione ottieni $y=-x+1$.
Per le parallele è corretto quello che hai detto, utilizzi quella formula dove $(x_0;y_0)$ sono le coordinate del punto per cui vuoi che passi la retta e $m$ è il coefficiente angolare. Ti trovi?
Per le parallele è corretto quello che hai detto, utilizzi quella formula dove $(x_0;y_0)$ sono le coordinate del punto per cui vuoi che passi la retta e $m$ è il coefficiente angolare. Ti trovi?
Sì,fin qui ho capito.Il problema è che non so come continuare.Per esempio: utilizzo la formula " y-y0=m(x-x0)" per P1(5/3;-2/3)=(x0;y0),poi prendo m sarà -1(preso dalla prima equazione),di conseguenza,dopo aver svolto tale passaggio mi trovo y=-1-x...Ora,per trovare la prima parallela è buono il passaggio oppure ho sbagliato qualcosa?E se tutto va bene cosa devo fare per trovare la parallela nel piano cartesiano?
Scusate le numerose domande,ma non so bene il metodo utilizzato per trovare le parallele.
Scusate le numerose domande,ma non so bene il metodo utilizzato per trovare le parallele.
Come ha detto prime_number, le parallele a una data retta nella forma $y=mx+q$ avranno lo stesso coefficiente angolare $m$ (nel tuo caso $-1$) e diversa intercetta $q$. Per trovare quella passante per un dato punto sostituisci le coordinate di quel punto alla $x$ e alla $y$ nella retta e risolvi l'equazione nell'icognita $q$.
Come si fa a risolvere l'equazione nell'incognita q?
È una normale equazione di primo grado che al posto di avere $x$ ha $q$. Nel tuo caso deve passare per $P(5/3;-2/3)$ perciò scrivi l'equazione: $$-2/3=-1\cdot5/3+q$$ $$q=1$$ e quindi la retta cercata è $$y=-x+1$$ Capito?
Ok,ora non so come inserirli nel piano cartesiano.Hai qualche suggerimento?
Parli di queste rette? O ti trovi dei punti dando dei valori a piacere alla $x$ oppure semplicemente con due squadrette ti fai la parallela al lato del tuo triangolo sulla figura.
Allora darò dei valori a piacere alla x.Avevo intenzione di utilizzare le squadrette ma il mio professore vuole tutto tramite le equazioni
Ok così è anche meglio 
"marcosocio":
Come ha detto prime_number, le parallele a una data retta nella forma $y=mx+q$ avranno lo stesso coefficiente angolare $m$ (nel tuo caso $-1$) e diversa intercetta $q$. Per trovare quella passante per un dato punto sostituisci le coordinate di quel punto alla $x$ e alla $y$ nella retta e risolvi l'equazione nell'icognita $q$.
scusate, stavo affrontando anch'io lo stesso problema ed anche a me il suggerimento di utilizzare lo stesso c.a. della retta data x+y=0 di c.a. m=-1 per trovare l'equazione della retta che passa per uno dei punti (-3/2;5/2) (5/3;-2/3) torna e sembra logico: il problema è che il risultato del libro dodero/baroncini è diverso: cioè, i punti sono quelli (il terzo è -39/7;30/7), ma le equazioni delle rette parallele alle rette date sono:
15x-9y=31
2x-4y+13=0
7x+7y+69=0
quindi non so..
ah! ho trovato: ciò che mi confondeva era che le rette devono essere sì parallele a quelle date (lati del triangolo) ma "condotte per i vertici del tringolo considerato": quindi semplicemente si deve trovare l'ordinata all'origine di una equazione che ha sì lo stesso coefficiente angolare del lato del triangolo, ma il punto per cui passa non è quello del lato bensì quello del vertice del triangolo opposto a quel lato.
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