Geometria analitica..iperbole???

[fede1992]

ho questi 2problemi:
dopo avere determinato l'equazione dell'iperbole equilatera,riferita agli asintoti,che passa per il punto A(-2;-8 ),trova le equazioni delle rette tangenti ai vertici.
deve dare:xy=16; y=-x + o - 8

poi:calcola l'equazione dell'iperbole equilatera,riferita agli asintoti,che stacca sulla retta di equazione y=-2x +1 una corda che misura 7/2 radice di 5

deve dare:xy=-6

aiutooooooooooo!

[BIT5]

L'iperbole equilatera ha equazione

[math] y= \frac{k}{x} [/math]

e pertanto dal momento che passa per il punto x=-2 y=-8 sara'

[math] -8= \frac{k}{-2} \to k=16 [/math]

E quindi l'iperbole sara'

[math] y= \frac{16}{x} \to xy=16 [/math]

Per trovare le rette tangenti ai vertici devi prima di tutto trovare i vertici..

I vertici dell'iperbole equilatera, sono i punti di ntersezione dell'iperbole con la bisettrice del I e III quadrante.

La bisettrice del quadrante e'

[math] y=x [/math]

E quindi

[math] \{ xy=16 \\ y=x [/math]

per sostituzione otteniamo

[math] xx=16 \to x^2=16 \to x= \pm 4 [/math]

E quindi, sostituendo alla retta (o all'iperbole, e' la stessa) troviamo i vertici

[math] V_1 (4,4) \ \ V_2 (-4,-4) [/math]

Le tangenti ai vertici sono perpendicolari alla bisettrica e avranno quindi pendenza

[math] m = - \frac{1}{1} = -1 [/math]

Le rette della forma

[math] y=-x+q [/math]

passanti per i vertici, sono

[math] y=-x \pm 8 [/math]

(le trovi sostituendo le coordinate di ogni vertice alla retta

[math] y=-x+q [/math]

Fino a qui e' chiaro?

Per la seconda, come procederesti?

[fede1992]

non so proprio come procedere....ke devo fare? Cmq grazie x la prima...gentilissimo

[BIT5]

i punti appartengono alla retta, quindi per ogni coppia di punti (x,y) sappiamo che l'ordinata y sara' = -2x+1

Quindi tutti i punti saranno del tipo

[math] (x_0,-2x_0+1) [/math]

Quindi sostituendo nell'iperbole il punto generico avremo che tutti i punti dell'iperbole che apprtengono anche alla retta daranno

[math] xy=k \to x(-2x+1)=k \to -2x^2+x=k \to 2x^2-x+k=0 [/math]

Risolviamo l'equazione di secondo grado

[math] x_{1,2}= \frac{1 \pm \sqrt{1-8k}}{4} [/math]

Quindi abbiamo le due ascisse (in funzione di k) generiche che appartengono sia all'iperbole che alla retta.

Le ordinate (y) di conseguenza, siccome soddisferanno l'equazione della retta, saranno

[math] y_1=-2x_1+1 \to y_1=-2 \( \frac{1 + \sqrt{1-8k}}{4} \)+1=\frac{-1-\sqrt{1-8k}}{2} [/math]

e

[math] y_2=-2x_2+1 \to y_2=-2 \( \frac{1 - \sqrt{1-8k}}{4} \)+1=\frac{-1 +\sqrt{1-8k}}{2} [/math]

Grazie alla formula:

[math] \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} [/math]

calcoliamo la distanza tra i due punti.

Per comodita' calcoliamo solo l'argomento della radice, ricordando quindi che stiamo calcolando IL QUADRATO della distanza

[math] \( \frac{1 + \sqrt{1-8k}}{4}- \frac{1 - \sqrt{1-8k}}{4} \)^2 + \( \frac{-1-\sqrt{1-8k}}{2} - \frac{-1+\sqrt{1-8k}}{2} \)^2 [/math]

da cui

[math] \( \frac{\sqrt{1-8k}}{2} \)^2 + \( - \sqrt{1-8k} \)^2 [/math]

e quindi

[math] \frac{1-8k}{4}+1-8k = \frac{1-8k+4-32k}{4} [/math]

che corrisponde dunque all'equazione delle distanze dei punti appartenenti alla retta data e a tutte le iperboli equilatere.

Vogliamo che la distanza sia

[math] \frac72 \sqrt5 [/math]

ma siccome stiamo trattando IL QUADRATO di questa distanza, porremo che la distanza di cui sopra sia uguale a

[math] \( \frac72 \sqrt5 \)^2= \frac{49}{4} \cdtot 5 = \frac{245}{4} [/math]

e quindi

[math] \frac{1-8k+4-32k}{4}= \frac{245}{4} \to 5-40k=245 \to -40k=240 \to k=-6 [/math]

E quindi l'iperbole sara'

[math] xy=-6 [/math]

.

[fede1992]

grazie 1000...la prima parte nn l'ho tanto capita.....

[BIT5]

Che cosa non hai capito precisamente?

quando hai che un punto appartiene a una retta, presa una x a caso, la y soddisfa l'equazione della retta.

Quindi per ogni x che prenderai, se la retta e' ad esempio y=2x+3, i punti saranno tutti della forma

[math] (x,2x+3) [/math]

(infatti per x=1 y=2+3=5, per x=0, y=0+3=3 ecc...)

[fede1992]

allora quando andrò a riportarlo sul quaderno,se c'è qualcosa che nn ho capito ti faccio sapere.! cmq ti ringrazio

Aggiunto 6 giorni più tardi:

mi potresti spiegare il meglio il primo problema???

Aggiunto 11 secondi più tardi:

mi potresti spiegare meglio il primo problema???

[BIT5]

Se mi dici cosa non capisci, ci provo!

[fede1992]

dopo ke trovi la x..quei passaggi nn mi tornano tnt

[BIT5]

Una volta ricavata la x, ho sostituito il valore trovato (in funzione di k) alla retta y=-2x+1.

siccome le x sono due, ho sostituito la prima x e ricavato y (sempre in funzione di k) e poi la seconda..

e' come se, AD ESEMPIO, avessi trovato x=2 e x=3

Avrei sostituito alla retta i valori e mi sarei ricavato la y.

Poi ho calcolato la distanza tra i punti (che sono anziche' numeri, dei valori con il parametro k).

dimmi se adesso riesci a capire questa parte e come va avanti.

[alicedipietra138]