Geometria analitica_ retta
Ciao ragazzi, questi sono degli esercizi che ho rifatto molte volte ma non capisco dove sbaglio, magari anche il procedimento, mi aiutate?
Dati i punti A(2;3) B(-1;1) C(5;-3)
1. I punti P del piano aventi ascissa doppia dell’ordinata e tali che PA=2
2. Le equazioni dei lati del triangolo ABC (già trovate)
3. Le equazioni delle mediana del triangolo, verificando che passano per uno stesso punto
4. Il circocentro
Dati i punti A(-4;2) B(2;-6) determinare il punto C della retta di equazione 2x-y-5=0 equidistante da A e da B. Dopo aver verificato che il triangolo ABC è rettangolo isoscele, determinare il quarto vertice D del quadrato ACBC. Trovare inoltre le rette parallele alla retta AB e aventi distanza uguale a 1 da essa.
Dopo aver determinato l’equazione della retta r passante per A( -2;-1/2) e B (0;1/2) determinare:
1. L’equazione della retta n passante per C (0;3) e perpendicolare a r
2. Il punto D d’intersezione fra r ed n
3. L’area del triangolo ADC
4. Il quarto vertice di E del triangolo ADCE
Dato il triangolo di lati A (-2;3) B(-2;-1) e C (3;4) determinare
1. Le equazioni dei lati
2. Il perimetro e area del triangolo
3. Detta t la retta passante per C e perpendicolare alla retta BC e detto D il punto d’intersezione di t con l’asse x, l’area del quadrilatero ACDB
4. I punti della retta y=2x che hanno distanza uguale a 3 dalla retta AB
Dati i punti A(2;3) B(-1;1) C(5;-3)
1. I punti P del piano aventi ascissa doppia dell’ordinata e tali che PA=2
2. Le equazioni dei lati del triangolo ABC (già trovate)
3. Le equazioni delle mediana del triangolo, verificando che passano per uno stesso punto
4. Il circocentro
Dati i punti A(-4;2) B(2;-6) determinare il punto C della retta di equazione 2x-y-5=0 equidistante da A e da B. Dopo aver verificato che il triangolo ABC è rettangolo isoscele, determinare il quarto vertice D del quadrato ACBC. Trovare inoltre le rette parallele alla retta AB e aventi distanza uguale a 1 da essa.
Dopo aver determinato l’equazione della retta r passante per A( -2;-1/2) e B (0;1/2) determinare:
1. L’equazione della retta n passante per C (0;3) e perpendicolare a r
2. Il punto D d’intersezione fra r ed n
3. L’area del triangolo ADC
4. Il quarto vertice di E del triangolo ADCE
Dato il triangolo di lati A (-2;3) B(-2;-1) e C (3;4) determinare
1. Le equazioni dei lati
2. Il perimetro e area del triangolo
3. Detta t la retta passante per C e perpendicolare alla retta BC e detto D il punto d’intersezione di t con l’asse x, l’area del quadrilatero ACDB
4. I punti della retta y=2x che hanno distanza uguale a 3 dalla retta AB
Risposte
Visto che hai già provato, io ti indicherò solo i passaggi, senza alcun calcolo, così potrai vedere se e cosa hai tralasciato:
Problema 1)
Innanzi tutto quello che serve è una figura coerente con il problema, perchè aiuta molto a capire (vedi allegato).
Su un grafico cartesiano impostiamo i punti noti: A, B, C
1)
Quali sono i punti P, a distanza 2 da A e che abbiano ascissa doppia dell'ordinata?
Innanzi tutto i punti con ascissa doppia dell'ordinata sono quelli che giacciono su una retta y = (1/2)x (in blu)
Per trovare quelli che sono a distanza 2 da A dovrai, prima trovare l'equazione della circonferenza con centro A e raggio pari a 2, poi metterla a sistema con la funzione della summenzionata retta.
Arriverai ad avere un'equazione di 2° grado (dalla figura si vede che i punti P in questione sono 2) che ti permetteranno di risalire alle coordinate di P e P'.
2) Questo l'hai fatto, sicuramente applicando le formule per la distanza di due punti.
3) Per trovare il punto medio di un segmento, anche in questo caso si tratta di applicare delle semplici formule, in quanto il punto medio di un segmento di estremi dati e' dato dalla semisomma delle coordinate omonime degli estremi stessi:
Trovati questi punti, le mediane non sono altro che la distanza tra il punto medio di un lato e il vertice opposto, quindi si ricade nell'utilizzo delle formule del punto 2) (in rosso)
4)
Con le coordinate dei punti medi dovrai trovare i rispettivi assi quindi dovrai procedere:
a) a trovare l'equazione della retta passante per i lati del tuo triangolo, e cioè per i vertici del triangolo stesso
b) a trovare l'equazione della perpendicolare alla retta trovata in a) relativa ad ogni lato, passante per il punto medio del lato stesso. (in verde)
Quando avrai trovato l'equazione delle tre mediane, le metterai a sistema, a due a due, per trovare le coordinate del punto di intersezione, verificando che è sempre lo stesso.
... per gli altri due ci sentiamo tra un po'
Aggiunto 1 ora 42 minuti più tardi:
Problema 2)
Per trovare il punto giacente sulla retta data e equidistante dai due punti dati, in pratica devi trasformare il problema nella ricerca del centro di una circonferenza passante per i punti dati e con il centro giacente sulla retta stessa.
In pratica dovrai mettere a sistema l'equazione generale della circonferenza soddisfatta per le coordinate del punto A, l'equazione generale della circonferenza soddisfatta per le coordinate del punto B e l'equazione della retta soddisfatta per le coordinate del centro di una circonferenza.
Da questo sistema ti ricavi i parametri a,b,c dell'equazione generale della circonferenza volute e, di conseguenza, le coordinate del centro giacente sulla retta data (C).
Con questi parametri ti ricavi il valore del raggio della circonferenza (che altro non è che la distanza AC o BC, in rosso) e la confronti con la distanza tra A e B se è diversa, il triangolo ABC è isocele (come dice il problema), altrimenti è equilatero.
Per trovare le coordinate del punto D del quadrato ACBD (tu hai erroneamente scritto ACBC) dovrai procedere come nel problema precedente:
a) Trovi le equazione delle rette passanti per AC e BC
b) trovi le equazione delle perpendicolari alle suddette rette, rispettivamente nei punti A e B in verde
c) Metti a sistema le equazioni di queste perpendicolari e trovi le coordinate del punto comune (D)
Per trovare le equazioni delle due rette parallele ad AB distanti 1, io procederei così (forse è un po' macchinoso, ma non me ne è venuto in mente nessun altro più semplice ;) ):
a) trovi l'equazione della retta passante per AB in blu
b) con la formula per trovare la distanza di un punto da una retta, imponi questa distanza uguale a 1 e fissando un valore di x arbitrario (es. -2), trovi i due valori di y che la soddisfano (F e F') .
c) con le coordinate di questi due punti trovi l'equazione della retta parallela ad AB passante per questi due punti in azzurro.
Aggiunto 16 minuti più tardi:
Problema 3)
Questo non dovrebbe rappresentare nessun problema, visto che applichi formule già utilizzate nei problemi 1 e 2.
Per l'area del triangolo ADC ti basta ricordare che, per costruzione è rettangolo in D, per cui ti basterà trovare le misure dei segmenti AD e CD che ne rappresentano i cateti.
Per le coordinate del punto E procedi in modo analogo a quanto fatto nel problema 2) per la ricerca del quarto vertice del quadrato.
Aggiunto 39 minuti più tardi:
Problema 4)
Il calcolo dei lati del triangolo ABC e quindi il suo perimetro non dovrebbe crearti grossi problemi.
Per il calcolo dell'area, visto che è un triangolo qualsiasi, dovrai usare la formula di Erone (hai tutti i dati per farlo).
Visti gli altri problemi, anche in questo caso, trovare l'equazione della perpendicolare a BC passante per C è una ripetizione.
Il punto D lo trovi mettendo a sistema l'equazione della retta t (in blu) e l'equazione delle ascisse (y=0).
Per calcolarti l'area del poligono ACDB ti conviene applicare la formula di Erone anche al triangolo CDB e poi sommarla a quella del triangolo ABC quindi ti dovrai calcolare prima le misure dei segmenti CD e BD (BC ce l'ahi già).
Per quanto riguarda l'ultimo punto io procederei come quando abbiamo dovuto trovare le equazioni delle parallele a distanza prefissata dell'ultimo punto del problema 2, dopo di che metti a sistema, una alla volta, le equazioni di queste parallele, aon l'equazione della retta y=2x (in verde) e trovi le coordinate dei due punti E e F che disteranno 3 dalla retta AB (in rosso).
... spero di essere stato abbastanza chiaro.
:hi
Massimiliano
P.S.
Molte delle formule che devi usare, se non le ricordi, le puoi trovare in queste dispense di matematica:
Geometria Cartesiana
Problema 1)
Innanzi tutto quello che serve è una figura coerente con il problema, perchè aiuta molto a capire (vedi allegato).
Su un grafico cartesiano impostiamo i punti noti: A, B, C
1)
Quali sono i punti P, a distanza 2 da A e che abbiano ascissa doppia dell'ordinata?
Innanzi tutto i punti con ascissa doppia dell'ordinata sono quelli che giacciono su una retta y = (1/2)x (in blu)
Per trovare quelli che sono a distanza 2 da A dovrai, prima trovare l'equazione della circonferenza con centro A e raggio pari a 2, poi metterla a sistema con la funzione della summenzionata retta.
Arriverai ad avere un'equazione di 2° grado (dalla figura si vede che i punti P in questione sono 2) che ti permetteranno di risalire alle coordinate di P e P'.
2) Questo l'hai fatto, sicuramente applicando le formule per la distanza di due punti.
3) Per trovare il punto medio di un segmento, anche in questo caso si tratta di applicare delle semplici formule, in quanto il punto medio di un segmento di estremi dati e' dato dalla semisomma delle coordinate omonime degli estremi stessi:
[math] x_m=\frac {x_1+x_2}{2} [/math]
[math] y_m=\frac {y_1+y_2}{2} [/math]
Trovati questi punti, le mediane non sono altro che la distanza tra il punto medio di un lato e il vertice opposto, quindi si ricade nell'utilizzo delle formule del punto 2) (in rosso)
4)
Con le coordinate dei punti medi dovrai trovare i rispettivi assi quindi dovrai procedere:
a) a trovare l'equazione della retta passante per i lati del tuo triangolo, e cioè per i vertici del triangolo stesso
b) a trovare l'equazione della perpendicolare alla retta trovata in a) relativa ad ogni lato, passante per il punto medio del lato stesso. (in verde)
Quando avrai trovato l'equazione delle tre mediane, le metterai a sistema, a due a due, per trovare le coordinate del punto di intersezione, verificando che è sempre lo stesso.
... per gli altri due ci sentiamo tra un po'
Aggiunto 1 ora 42 minuti più tardi:
Problema 2)
Per trovare il punto giacente sulla retta data e equidistante dai due punti dati, in pratica devi trasformare il problema nella ricerca del centro di una circonferenza passante per i punti dati e con il centro giacente sulla retta stessa.
In pratica dovrai mettere a sistema l'equazione generale della circonferenza soddisfatta per le coordinate del punto A, l'equazione generale della circonferenza soddisfatta per le coordinate del punto B e l'equazione della retta soddisfatta per le coordinate del centro di una circonferenza.
Da questo sistema ti ricavi i parametri a,b,c dell'equazione generale della circonferenza volute e, di conseguenza, le coordinate del centro giacente sulla retta data (C).
Con questi parametri ti ricavi il valore del raggio della circonferenza (che altro non è che la distanza AC o BC, in rosso) e la confronti con la distanza tra A e B se è diversa, il triangolo ABC è isocele (come dice il problema), altrimenti è equilatero.
Per trovare le coordinate del punto D del quadrato ACBD (tu hai erroneamente scritto ACBC) dovrai procedere come nel problema precedente:
a) Trovi le equazione delle rette passanti per AC e BC
b) trovi le equazione delle perpendicolari alle suddette rette, rispettivamente nei punti A e B in verde
c) Metti a sistema le equazioni di queste perpendicolari e trovi le coordinate del punto comune (D)
Per trovare le equazioni delle due rette parallele ad AB distanti 1, io procederei così (forse è un po' macchinoso, ma non me ne è venuto in mente nessun altro più semplice ;) ):
a) trovi l'equazione della retta passante per AB in blu
b) con la formula per trovare la distanza di un punto da una retta, imponi questa distanza uguale a 1 e fissando un valore di x arbitrario (es. -2), trovi i due valori di y che la soddisfano (F e F') .
c) con le coordinate di questi due punti trovi l'equazione della retta parallela ad AB passante per questi due punti in azzurro.
Aggiunto 16 minuti più tardi:
Problema 3)
Questo non dovrebbe rappresentare nessun problema, visto che applichi formule già utilizzate nei problemi 1 e 2.
Per l'area del triangolo ADC ti basta ricordare che, per costruzione è rettangolo in D, per cui ti basterà trovare le misure dei segmenti AD e CD che ne rappresentano i cateti.
Per le coordinate del punto E procedi in modo analogo a quanto fatto nel problema 2) per la ricerca del quarto vertice del quadrato.
Aggiunto 39 minuti più tardi:
Problema 4)
Il calcolo dei lati del triangolo ABC e quindi il suo perimetro non dovrebbe crearti grossi problemi.
Per il calcolo dell'area, visto che è un triangolo qualsiasi, dovrai usare la formula di Erone (hai tutti i dati per farlo).
Visti gli altri problemi, anche in questo caso, trovare l'equazione della perpendicolare a BC passante per C è una ripetizione.
Il punto D lo trovi mettendo a sistema l'equazione della retta t (in blu) e l'equazione delle ascisse (y=0).
Per calcolarti l'area del poligono ACDB ti conviene applicare la formula di Erone anche al triangolo CDB e poi sommarla a quella del triangolo ABC quindi ti dovrai calcolare prima le misure dei segmenti CD e BD (BC ce l'ahi già).
Per quanto riguarda l'ultimo punto io procederei come quando abbiamo dovuto trovare le equazioni delle parallele a distanza prefissata dell'ultimo punto del problema 2, dopo di che metti a sistema, una alla volta, le equazioni di queste parallele, aon l'equazione della retta y=2x (in verde) e trovi le coordinate dei due punti E e F che disteranno 3 dalla retta AB (in rosso).
... spero di essere stato abbastanza chiaro.
:hi
Massimiliano
P.S.
Molte delle formule che devi usare, se non le ricordi, le puoi trovare in queste dispense di matematica:
Geometria Cartesiana
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