Geometria Analitica: Retta

[davicos]

Salve a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento circa la distanza punto-retta.
Ad esempio: preso il punto $A(1;2)$ appartenente alla retta $x-2y+3=0$ devo trovare la parallela che dista $sqrt5$.

$ (|x-2y+q|)/sqrt5=sqrt5 rarr -3+q=+-5rarr q=-2;q=8 $

Ma se per esempio facessi così:

$ x-2y+3=0 rarr y=1/2x+qrArr 1/2x-y+q $

$ (|1/2x-y+q|)/(sqrt5/2)=sqrt5rarr -3/2+q=+-2rarr q=-1/2;q=7/2 $ Che è sbagliato.

Perchè cambiando forma viene diverso?? Eppure dovrebbe essere uguale no?
Grazie!

[G.D.5]

In primo luogo:

\[
\frac{\Big \lvert \frac{1}{2}x-y+q \Big \rvert}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{5} \implies \left \lvert \frac{1}{2}x -y + q \right \rvert = \frac{5}{2}
\]

In secondo luogo, avendo cambiato i coefficienti con cui è scritta la retta in forma implicita, non puoi ottenere gli stessi valori di \( q \): devi accertati che con i valori di \( q \) ottenuti le equazioni risultino equivalenti.

[davicos]

No. Allora, ammetto che il risultato (il secondo) l'ho sbagliato, viene effettivamente $5/2$ ma:
1) quello che hai detto è corretto ma se noti, con la forma cambiata, a denominatore ho messo i valori di $a$ e di $b$ corretti;

2) a conferma di quanto detto e fatto i valori di $q$ escono corretti, a patto che essi si sostituiscano nella forma corrente scelta.

Confermi??

[G.D.5]

Non ho capito le domande.

In ogni caso il senso del mio intervento era il seguente: se prima scrivi l'equazione implicita della generica parallela alla retta \( x -2y + 3 = 0 \) come \( x - 2y + p = 0 \) e poi scrivi l'equazione implicita della generica parallela alla retta \( x -2y + 3 = 0 \) come \( \frac{1}{2}x - y + q = 0 \), ovviamente non puoi aspettarti che i valori di \( p \) che risolvono il problema siano uguali ai valori di \( q \) che risolvono il problema, ciò che devi aspettarti e quindi controllare è che i valori di \( p \) siano in accordo con i valori di \( q \), i.e. che le equazioni ottenute siano equivalenti.