Geometria analitica problema sulla circonferenza
Salve, non riesco proprio a risolvere questo problema:
Sia \gamma la semicirconferenza di raggio unitario avente centro nell 'origine degli assi e posta nel semipiano delle ordinate positivo . Indicato con A il punto in cui essa tocca il semiasse delle ascisse negative, traccia per A una retta AP con P punto generico di \gamma.
a) scrivi le coordinate del punto Q di intersezione tra la retta AP e l'asse del segmento OP al variare della retta P.
B) determina la posizione di P affinché Q stia sull'asse delle ordinate
C) in questa posizione trova l'equazione della tangente in P a \gamma.
Mi spiegate come fare? Grazie
Sia \gamma la semicirconferenza di raggio unitario avente centro nell 'origine degli assi e posta nel semipiano delle ordinate positivo . Indicato con A il punto in cui essa tocca il semiasse delle ascisse negative, traccia per A una retta AP con P punto generico di \gamma.
a) scrivi le coordinate del punto Q di intersezione tra la retta AP e l'asse del segmento OP al variare della retta P.
B) determina la posizione di P affinché Q stia sull'asse delle ordinate
C) in questa posizione trova l'equazione della tangente in P a \gamma.
Mi spiegate come fare? Grazie
Risposte
Per cominciare, di tutte le rette che passano per $(-1, 0)$, quali sono quelle che toccano la semicirconferenza un'altra volta?
Ti do qualche suggerimento per iniziare; quando posterai i risultati dei calcoli che ti ho suggerito vedremo come continuare, ma forse saprai farlo da solo.
1) Scrivi le coordinate di A.
2) Scrivi l'equazione della circonferenza.
3) AP è per ora una qualsiasi retta passante per A; scrivi l'equazione della generica retta che lo fa (ci sarà quindi il parametro $m$).
4) Trova, in funzione di $m$, le coordinate di P: è un'intersezione fra la retta e la circonferenza (l'altra intersezione è A).
Il suggerimento di Caenorhabditis ti sarà utile più avanti, ma puoi trarne una conseguenza già dalla mia domanda 3.
1) Scrivi le coordinate di A.
2) Scrivi l'equazione della circonferenza.
3) AP è per ora una qualsiasi retta passante per A; scrivi l'equazione della generica retta che lo fa (ci sarà quindi il parametro $m$).
4) Trova, in funzione di $m$, le coordinate di P: è un'intersezione fra la retta e la circonferenza (l'altra intersezione è A).
Il suggerimento di Caenorhabditis ti sarà utile più avanti, ma puoi trarne una conseguenza già dalla mia domanda 3.
Ho più o meno capito il problema..
Quindi
A=(-1,0)
$x^2+y^2=0$ circonferenza
Y=m(x+1) retta
Faccio intersezione tra circonferenza e retta
Sostituisco la retta nella circonferenza
$x^2+(mx+m)^2=1$
$x^2+m^2 x^2+m^2-2m^2x=1$
Ora raccolgo per $m^2$ ...
$m^2(x^2-2x+1)+x^2-1=0$
Dove sto sbagliando?
Quindi
A=(-1,0)
$x^2+y^2=0$ circonferenza
Y=m(x+1) retta
Faccio intersezione tra circonferenza e retta
Sostituisco la retta nella circonferenza
$x^2+(mx+m)^2=1$
$x^2+m^2 x^2+m^2-2m^2x=1$
Ora raccolgo per $m^2$ ...
$m^2(x^2-2x+1)+x^2-1=0$
Dove sto sbagliando?
Pardon raccolgo per x perché è lei l' incognita...ma ottengo una espressione di secondo grado in m...ma non arrivo a nessun risultato accettabile...
Posto il risultato del libro:
Se y= h(x+1): Q =( $(1-3h^2)/(2(h^2+1)$ ; $(3-h^2)/(2(h^2+1)$h)
Se y= h(x+1): Q =( $(1-3h^2)/(2(h^2+1)$ ; $(3-h^2)/(2(h^2+1)$h)
Hai visto da solo che dovevi ordinare secondo $x$ e quindi il tuo unico errore è aver distrattamente messo un segno sbagliato: l'equazione è
$x^2(m^2+1)+2m^2x+(m^2-1)=0$
Risolvendola trovi due soluzioni: una è $x=-1$ che corrisponde al punto $A$: ce lo aspettavamo perché è una delle intersezioni e se non l'avessimo trovata avremmo cercato l'errore. L'altra corrisponde al punto $P$ ed è
$x_P=(-m^2+1)/(m^2+1)$
Ci manca ancora $y_P$ e la calcoli ricordando che $P$ sta sulla retta $AP$: troverai $y_P=(2m)/(m^2+1)$.
Ora che abbiamo $P$ devi trovare l'equazione dell'asse di $OP$ (ricorda che è la perpendicolare nel punto di mezzo); intersecandolo con $AP$ ottieni $Q$.
Ripeti per conto tuo i calcoli di cui ti ho dato i risultati e continua seguendo i suggerimenti. Riesci ad andare oltre?
$x^2(m^2+1)+2m^2x+(m^2-1)=0$
Risolvendola trovi due soluzioni: una è $x=-1$ che corrisponde al punto $A$: ce lo aspettavamo perché è una delle intersezioni e se non l'avessimo trovata avremmo cercato l'errore. L'altra corrisponde al punto $P$ ed è
$x_P=(-m^2+1)/(m^2+1)$
Ci manca ancora $y_P$ e la calcoli ricordando che $P$ sta sulla retta $AP$: troverai $y_P=(2m)/(m^2+1)$.
Ora che abbiamo $P$ devi trovare l'equazione dell'asse di $OP$ (ricorda che è la perpendicolare nel punto di mezzo); intersecandolo con $AP$ ottieni $Q$.
Ripeti per conto tuo i calcoli di cui ti ho dato i risultati e continua seguendo i suggerimenti. Riesci ad andare oltre?
Grazie...provo a continuare.
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