Geometria analitica, problema con iperbole!?

[Saphira_Sev]

Ciao! Potreste spiegarmi come risolvere questo problema?

"Nel semipiano delle ordinate positive considera un punto generico P del ramo dell’ iperbole “gamma” di equazione 16x^2-9y^2+144=0, la sua proiezione H sull’asse x e il fuoco F dell’iperbole. Indicata con t la retta tangente all’iperbole “gamma” nel punto P, sia T il punto in cui t incontra l’asse delle ascisse. Determina le coordinate di P affinchè si abbia 4TF = radical 17 PH."

Grazie mille in anticipo :*

[mc2]

Scriviamo l'iperbole nella forma canonica:

[math]\frac{16x^2}{144}-\frac{9y^2}{144}=-1[/math]

[math]\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1[/math]

si riconosce la forma canonica

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1[/math]

per un'iperbole con il centro nell'origine ed i fuochi sull'asse delle y, con

[math]a=3[/math]

e

[math]b=4[/math]

Un punto generico P del ramo nel semipiano y>0 ha coordinate:

[math]P(x_0,\frac{4}{3}\sqrt{x_0^2+9})[/math]

(

[math]x_0[/math]

sara` la nostra incognita)

la sua proiezione sull'asse x e`

[math]H(x_0,0)[/math]

ed il fuoco (nel semipiano y>0) e`

[math]F(0,c)[/math]

con

[math]c=\sqrt{a^2+b^2}=5[/math]

, cioe`

[math]F(0,5)[/math]

Per trovare la tangente in P all'iperbole conviene usare la formula degli sdoppiamenti:

[math]\frac{xx_0}{9}-\frac{y\frac{4}{3}\sqrt{x_0^2+9}}{16}=-1[/math]

e questa tangente interseca l'asse x nel punto T in cui y=0, a cui corrisponde

[math]x=-\frac{9}{x_0}[/math]

[math]T(-\frac{9}{x_0},0)[/math]

Ovviamente dovra` essere

[math]x_0\neq 0[/math]

altrimenti la tangente e` orizzontale ed il punto T non esiste.

Ora dobbiamo determinare

[math]x_0[/math]

in modo che sia soddisfatta la richiesta del problema:

[math]4~TF=\sqrt{17}~PH[/math]

[math]TF=\sqrt{\frac{81}{x_0^2}+25}[/math]

[math]PH=\frac{4}{3}\sqrt{9+x_0^2}[/math]

[math]4\sqrt{\frac{81}{x_0^2}+25}=\sqrt{17}\frac{4}{3}\sqrt{9+x_0^2}[/math]

[math]\frac{81}{x_0^2}+25=\frac{17}{9}(9+x_0^2)[/math]

Poiche'

[math]x_0\neq 0[/math]

si puo` moltiplicare per

[math]9x_0^2 [/math]

e si ottiene un'equazione biquadratica:

[math]17x_0^4-72x_0^2-729=0[/math]

Si trovano due soluzioni:

[math]x_0^2=-\frac{81}{17}[/math]

che non e` accettabile

[math]x_0^2=9[/math]

che e` accettabile.

Quindi

[math]x_0=\pm 3[/math]

: ci sono due possibilita` per il punto P richiesto:

[math]P_1(3,4\sqrt{2})[/math]

e

[math]P_2(-3,4\sqrt{2})[/math]