Geometria analitica, problema circonferenza e rette

[saretta]

ciao!
nuovo problema di un compito in classe, inventato da un prof di una ragazza che seguo... 3 liceo scientifico, stanno facendo geometria analitica, circonferenza
potete aiutarmi per favore?

grazie in anticipo

"determinare l'equazione della circonferenza tangente in A e B alle rette x+4y+8=0 e 4x-y-19=0, avente il centro che appartiene alla retta 2x-y=0 e al 1°quadrante.
calcolare successivamente le coordinate dei vertici del trapezio isoscele, inscritto nella circonferenza, avente l'altezza di misura

[math]\frac{20}{17}\sqrt{34}[/math]

e per base maggiore la corda AB"


io ho provato a fare
- sistema tra retta tangente per A e circonferenza generica
- sistema tra retta tangente per B e circonferenza generica
- sistema tra retta del centro e circonferenza generica

e pensavo di mettere poi a sistema le 3 equazioni che ottenevo, però poi mi sono bloccata nei calcoli!
andava bene come raggionamento?

per la seconda parte non dovrei avere problemi

grazie in anticipo

Aggiunto 13 ore 5 minuti più tardi:

no, no, grazie... mi basta....
stasera cerco di farlo e poi chiudo il post...
grazie mille...
era più semplice di come il mio cervello contorto voleva fare...

[BIT5]

Il centro ha coordinate generiche (dal momento che sta sulla retta y=2x)

[math] c(x_c,2x_c) [/math]

dal momento che le due rette sono tangenti alla circonferenza, la distanza del centro da queste due rette, dovra' essere la medesima.

Quindi

[math] \frac{|x_C+4(2x_C)+8|}{\sqrt{1+16}}= \frac{|4x_C-2x_C-19|}{\sqrt{16+1}} [/math]

Da cui

[math] x_C+8x_C+8=4x_C-2x_C-19 \to 7x_C=-27 \to x_C=- \frac{27}{7} [/math]

E quindi

[math] y_C=- \frac{54}{7} [/math]

Pertanto

[math] - \frac{a}{2}=- \frac{27}{7} \to a \frac{54}{7} [/math]

e

[math] - \frac{b}{2}= - \frac{54}{7} \to b= \frac{108}{7} [/math]

Il fascio di circonferenze pertanto sara'

[math] x^2+y^2+ \frac{54}{7}x+ \frac{108}{7}y+c=0 [/math]

A questo punto puoi trovare c in piu' modi:

o calcolando la distanza del centro da una di queste rette, e poi ponendo che il raggio (che contiene c) sia uguale a questa distanza;

o mettendo a sistema il fascio con una delle due rette e ponendo il delta =0.

Dimmi se e' sufficiente o vuoi il completamento dell'esercizio.