Geometria analitica, parabola!
Potreste spiegarmi come risolvere questo problema di matematica?
"Conduci una retta parallela all'asse y nella parte di piano delimitata dalle parabole y=-1/4x^2+x+37/4 e y=1/4x^2+7/4 in modo che , intersecando le due parabole, si formi un segmento lungo 2."
Grazie :*
"Conduci una retta parallela all'asse y nella parte di piano delimitata dalle parabole y=-1/4x^2+x+37/4 e y=1/4x^2+7/4 in modo che , intersecando le due parabole, si formi un segmento lungo 2."
Grazie :*
Risposte
La prima parabola ha la concavita` rivolta verso il basso, la seconda verso l'alto.
Si intersecano nei punti A e B dati dal sistema:
le cui soluzioni sono
La retta generica parallela all'asse y ha equazione
Questa retta interseca la prima parabola nel punto
Il problema chiede di determinare k in modo che il segmento CD sia lungo 2:
e ci sono due possibilita`:
1)
2)
Si intersecano nei punti A e B dati dal sistema:
[math]\left\{\begin{array}[c]{l}
y=-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{37}{4} \\
y=\frac{1}{4}x^2+\frac{7}{4}\end{array}\right.
[/math]
y=-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{37}{4} \\
y=\frac{1}{4}x^2+\frac{7}{4}\end{array}\right.
[/math]
le cui soluzioni sono
[math]A=(-3,4)[/math]
e [math]B=(5,8)[/math]
La retta generica parallela all'asse y ha equazione
[math]x=k[/math]
e deve essere condotta nella parte di area delimitata dalle due parabole, quindi deve essere [math]-3\le k\le 5[/math]
.Questa retta interseca la prima parabola nel punto
[math]C=(k,-\frac{1}{4}k^2+k+\frac{37}{4})[/math]
, e interseca la seconda parabola nel punto[math]D=(k,\frac{1}{4}k^2+\frac{7}{4})[/math]
.Il problema chiede di determinare k in modo che il segmento CD sia lungo 2:
[math]CD=\left|\left(-\frac{1}{4}k^2+k+\frac{37}{4}\right)-
\left(\frac{1}{4}k^2+\frac{7}{4}\right)\right|=
\left|-\frac{1}{2}k^2+k+\frac{15}{2}\right|=2
[/math]
\left(\frac{1}{4}k^2+\frac{7}{4}\right)\right|=
\left|-\frac{1}{2}k^2+k+\frac{15}{2}\right|=2
[/math]
e ci sono due possibilita`:
1)
[math]-\frac{1}{2}k^2+k+\frac{15}{2}=2[/math]
[math]k^2-2k-11=0[/math]
che ammette le due soluzioni [math]k=1\pm 2\sqrt{3}[/math]
, entrambe accettabili perche' comprese nell'intervallo [math]-3\le k \le 5[/math]
2)
[math]\frac{1}{2}k^2-k-\frac{15}{2}=2[/math]
[math]k^2-2k-19=0[/math]
che ammette le due soluzioni [math]k=1\pm 2\sqrt{5}[/math]
, non accettabili perche' non comprese nell'intervallo di validita`
Io direi che bisogna impostare il sistema per cui l'ascissa di una dev'essere uguale all'ascissa dell'altra, posto che l'ordinata della prima valga y e quella della seconda valga
Poi porti il
[math]y - 2[/math]
. Così:[math]
\left\{
\begin{array}{1}
y=-1/4x^2+x+37/4\\
y-2=1/4x^2+7/4
\end{array}
\right.
[/math]
\left\{
\begin{array}{1}
y=-1/4x^2+x+37/4\\
y-2=1/4x^2+7/4
\end{array}
\right.
[/math]
Poi porti il
[math]-2[/math]
a destra ed eguagli le equazioni. A me risulta [math]x = 1 \pm 2\sqrt{3}[/math]
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