Geometria analitica, difficileeee

[franki]

Per favore se qualcuno riesceeeeeeeeeeee

1)calcolare le coordinate dei punti comuni all'iperbole xy=4 e alla parabola y=1/3(x^2-13) e determinare l'area del triangolo avente per vertici i punti di intersezione delle due curve.

2)La parabola y=ax^2+c incontra l'iperbole xy=4 nel punto A di ascissa x=1 e nel vertice B dell'iperbole che appartiene al primo quadrante. Scrivere l'equazione della parabola e calcolare le coordinate del punto C, ulteriore intersezione delle due curve. Determinare successivamente sul segmento CB un punto D in modo che sia verificata la relazione: AD^2+BD^2=33

3)Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita al centro e agli assi, sapendo che il semiasse maggiore è lungo 4, cha l'ellisse è tangente alla retta x+2y-8=0 nel punto A e che i fuochi stanno sull'asse x.
- Calcolare le coordinate dei fuochi e l'eccentricità
- Verificare che il punto A appartiene all'iperbole equilatera xy=6 e calcolare la lunghezza del perimetro e l'area del quadrilatero avente per vertici i punti d'intersezione dell'ellisse con l'iperbole

GRAZIE IN ANTICIPO!!!MAKKEKAKKIO...

[ciampax]

Problema 1)

Per calcolare le coordinate dei punti comuni, basta mettere a sistema, cioè

[math]\left\{\begin{array}{l}
xy=4\\
y=\frac{1}{3}(x^2-13)
\end{array}\right.[/math]

Sostituendo il vaore di y nella prima otteniamo l'equazione

[math]x^3-13x-12=0[/math]

Una delle radici dell'equazione è

[math]x=-1[/math]

, da cui dividendo con la regola di Ruffini, otteniamo

[math](x+1)(x^2-x-12)=0[/math]

Le radici dell'equazione di secondo grado si trovano conla formula risolutiva

[math]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\frac{1\pm 7}{2}[/math]

e quindi sono

[math]x=4, x=-3[/math]

.

I punti di itersezione sono allora

[math]A(-1,-4), B(4,1), C(-3,-4/3)[/math]

Per calcolare l'area del triangolo di vertici i punti A,B,C, basta scegliere uno dei segmenti come base e calcolare la relativa altezza. Se scegliamo AB come base, abbiamo

[math]AB=\sqrt{(-1-4)^2+(-4-1)^2}=5\sqrt{2}[/math]

Ora per calcolare l'altezza, scriviamo l'equazione della retta passante per AB: essendo il coefficiente angolare

[math]m=\frac{1+4}{4+1}=1[/math]

abbiamo

[math]y-1=x-4\Rightarrow x-y-3=0[/math]

L'altezza allora è la distanza di C da questa retta, cioè

[math]h=\frac{|-3+4/3-3|}{\sqrt{1+1}}=\frac{14}{3\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{3}[/math]

Abbiamo allora l'area

[math]A=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h=\frac{35}{3}[/math]

Fatto.
Più tardi gli altri.

[franki]

uuuuuuuu!graziegraziegraziegraziegraziegrazie... continuo a sperare anke x gli altri!

[Kurt Cobain]

scusa, ma mi sai dire cos'e' vertice di un'iperbole... sono un po' confuso...

[ciampax]

I vertici dell'iperbole sono 2, si trovano lungo l'asse inferiore e sono i punti in cui la distanza dei due rami dell'iperbole è minima.

Se hai un'iperbole con equazione

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

le coordinate dei vertici sono

[math]V(\pm a,0)[/math]

mentre nel caso di una iperbole equilatera di equazione

[math]xy=k,\qquad k>0[/math]

le coordinate sono

[math]V(\pm\sqrt{k},\pm\sqrt{k})[/math]

.

[Kurt Cobain]

:) pensavo che siano questi i vertici di un iperbole... ma non ho mai studiato (o forse ho studiato ma non ho ascoltato) che esistano vertici dell'iperbole...:)

quindi in questo caso il vertice che si trova nel primo quadrante e' V(2;2)

ora e' un po' tardi ed il problema lo risolvero' domani... alla prima sguarda non mi sembra cosi' difficile, ma vediamo... prima non la potevo fare perche' come ho detto non ero sicuro qual'e' il vertice:)