Geometria analitica del piano: Circonferenza
Qualche giorno fa sul compito di matematica riguardo la geometria analitica della circonferenza ho incontrato un problema particolarmente difficile e anche confrontandomi poi con gli altri non ho trovato una soluzione accettabile. Purtroppo non ricordo l'equazione della circonferenza, ma il quesito era questo:
Data l'equazione di una circonferenza (con $ c=0 $), sapendo che essa è tagliata da una retta secante con equazione $ y=mx $, trova per quale valore di m la corda misura 2
Prima ho provato a mettere a sistema l'equazione della circonferenza e della retta per ricavare in modo algebrico il coefficiente angolare, ma mi sono bloccata arrivando a un'equazione impossibile da determinare, perché non avevo abbastanza dati concreti.
Come secondo (disperato) tentativo, ho trovato le coordinate del centro della circonferenza, il raggio e le intersezioni con gli assi cartesiani e, sapendo anche che sia la circonferenza (perché appunto $ c=0 $) che la retta (perché senza quota) passavano per l'origine, ho tracciato un grafico approssimativo, dal quale ho ricavato i valori di x e y e poi la m.
Non penso che quest'ultimo metodo sia particolarmente giusto, avete suggerimenti
Data l'equazione di una circonferenza (con $ c=0 $), sapendo che essa è tagliata da una retta secante con equazione $ y=mx $, trova per quale valore di m la corda misura 2
Prima ho provato a mettere a sistema l'equazione della circonferenza e della retta per ricavare in modo algebrico il coefficiente angolare, ma mi sono bloccata arrivando a un'equazione impossibile da determinare, perché non avevo abbastanza dati concreti.
Come secondo (disperato) tentativo, ho trovato le coordinate del centro della circonferenza, il raggio e le intersezioni con gli assi cartesiani e, sapendo anche che sia la circonferenza (perché appunto $ c=0 $) che la retta (perché senza quota) passavano per l'origine, ho tracciato un grafico approssimativo, dal quale ho ricavato i valori di x e y e poi la m.
Non penso che quest'ultimo metodo sia particolarmente giusto, avete suggerimenti
Risposte
Bisognerebbe vedere il problema... la circonferenza era nota vero?
Io avrei messo a sistema retta e circonferenza ottenendo i valori dei punti di intersezione tra le due curve detti A e B, che sarebbero stati ovviamente funzione di m... dopodichè avrei posto uguale a 2 la distanza tra A e B
Io avrei messo a sistema retta e circonferenza ottenendo i valori dei punti di intersezione tra le due curve detti A e B, che sarebbero stati ovviamente funzione di m... dopodichè avrei posto uguale a 2 la distanza tra A e B
"mazzarri":
Bisognerebbe vedere il problema... la circonferenza era nota vero?
Io avrei messo a sistema retta e circonferenza ottenendo i valori dei punti di intersezione tra le due curve detti A e B, che sarebbero stati ovviamente funzione di m... dopodichè avrei posto uguale a 2 la distanza tra A e B
Sì nota ma non la ricordo, lunedì la professoressa dovrebbe riportarci i compiti quindi posso verificare.
Allora probabilmente ho sbagliato nella risoluzione del sistema, quando avrò i dati lo ricontrollerò.
Però ancora riesco a capire il passaggio tra il trovare le coordinate di A e B e la loro distanza e il trovare il coefficiente angolare...
allora vediamo un esempio concreto
circonferenza di centro $C(1,1)$ e raggio $sqrt(2)$
ha equazione
$x^2+y^2-2x-2y=0$
intersezione con retta $y=mx$
Metti a sistema le due curve e trovi come soluzione i punti
$A(0,0)$ e $B((2m+2)/(m^2+1),(2m^2+2m)/(m^2+1))$
fin qui sei d'accordo?
Ora proviamo a scrivere la distanza AB... dovrebbe essere se non sbaglio i calcoli e se la mente mi sorregge
$AB=(2(m+1))/sqrt(m^2+1)$
Tale distanza deve essere uguale a 2... otteniamo
$m+1=sqrt(m^2+1)$
equazione irrazionale... la sapresti risolvere? Dovrebbe dare $m=0$... che ha senso in quanto i punti A e B diventano
$A(0,0)$ $B(2,0)$
la cui distanza è evidentemente pari a 2
and we have done...
Tutto chiaro??
ciao!!!!
circonferenza di centro $C(1,1)$ e raggio $sqrt(2)$
ha equazione
$x^2+y^2-2x-2y=0$
intersezione con retta $y=mx$
Metti a sistema le due curve e trovi come soluzione i punti
$A(0,0)$ e $B((2m+2)/(m^2+1),(2m^2+2m)/(m^2+1))$
fin qui sei d'accordo?
Ora proviamo a scrivere la distanza AB... dovrebbe essere se non sbaglio i calcoli e se la mente mi sorregge
$AB=(2(m+1))/sqrt(m^2+1)$
Tale distanza deve essere uguale a 2... otteniamo
$m+1=sqrt(m^2+1)$
equazione irrazionale... la sapresti risolvere? Dovrebbe dare $m=0$... che ha senso in quanto i punti A e B diventano
$A(0,0)$ $B(2,0)$
la cui distanza è evidentemente pari a 2
and we have done...
Tutto chiaro??
ciao!!!!
"mazzarri":
allora vediamo un esempio concreto
circonferenza di centro $C(1,1)$ e raggio $sqrt(2)$
ha equazione
$x^2+y^2-2x-2y=0$
intersezione con retta $y=mx$
Metti a sistema le due curve e trovi come soluzione i punti
$A(0,0)$ e $B((2m+2)/(m^2+1),(2m^2+2m)/(m^2+1))$
fin qui sei d'accordo?
Ora proviamo a scrivere la distanza AB... dovrebbe essere se non sbaglio i calcoli e se la mente mi sorregge
$AB=(2(m+1))/sqrt(m^2+1)$
Tale distanza deve essere uguale a 2... otteniamo
$m+1=sqrt(m^2+1)$
equazione irrazionale... la sapresti risolvere? Dovrebbe dare $m=0$... che ha senso in quanto i punti A e B diventano
$A(0,0)$ $B(2,0)$
la cui distanza è evidentemente pari a 2
and we have done...
Tutto chiaro??
ciao!!!!
Ah ok capito, grazie!
Le equazioni irrazionali non le avevamo studiate ma adesso ho letto l'argomento sul libro, ancora grazie 
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