Geometria analitica - circonferenza (37976)

[mark930]

ciao a tutti, come si fa questo problema:
avendo l'equazione della circonferenza

[math]x^2+y^2-(m-1)x-2y-3=0[/math]

come faccio a trovare il valore di m?

[BIT5]

Non puoi trovare il valore di m cosi', perche' m e' un parametro che pertanto ti rende l'equazione di sopra un fascio di circonferenze e non una circonferenza..

Puoi trovare m solo se ti viene chiesto di trovare la circonferenza appartenente al fascio (e quindi che, dato un opportuno valore di m, si riesca a ricavare dall'equazione di cui sopra) che risponda a determinati requisiti..

Ad esempio, se ti venisse chiesto di trovare la circonferenza appartenente al fascio e che abbia l'ascissa del centro pari a 1, allora:

sapendo che l'ascissa del centro di una circonferenza e'

[math] - \frac{a}{2} [/math]

e che "a" nell'equazione corrisponde al coefficiente di x (e quindi nel fascio da te postato e'

[math] -(m-1) [/math]

allora dovresti porre

[math] - \frac{a}{2}=1 \to - \frac{-(m-1)}{2}=1 \to -( -(m-1))=2 \to m=3 [/math]

E dunque la circonferenza appartenente al fascio e avente ascissa del centro pari a 1 sarebbe:

[math] x^2+y^2-(3-1)x-2y-3=0 \to x^2+y^2-2x-2y-3=0 [/math]

Ma senza una richiesta specifica, non e' possibile.

Oppure la richiesta potrebbe essere, ad esempio:

per quali valori di m il fascio rappresenta un fascio di circonferenze?

Allora dovresti semplicemente studiare quando esiste il raggio.

Sapendo che il raggio di una circonferenza e'

[math] r= \sqrt{ \alpha^2 + \beta^2 - c} [/math]

dove

[math] \alpha [/math]

e

[math] \beta [/math]

sono ascissa e ordinata del centro (quindi -a/2 e -b/2), ricavi il raggio:

[math] r= \sqrt{ (\frac{m-1}{2})^2 + (- \frac{-2}{2})^2 - 3} [/math]

Da qui fai un po' di conti e ottieni

[math] r= \sqrt{ \frac{m^2-2m+1}{4} -2} [/math]

A questo punto, sai che la radice esiste se il radicando e' positivo (o nullo, allora avrai un punto), quindi:

[math] \frac{m^2-2m+1}{4} - 2 \ge 0 \to m^2-2m+1-8 \ge 0 \to m^2-2m-7 \ge 0 [/math]

La soluzione della disequazione sara'

[math] m \le 1-2 \sqrt2 \ U \ m \ge 1+2 \sqrt2 [/math]

e pertanto il fascio rappresenta un fascio di circonferenze REALI per quell'intervallo di valori del parametro.

Spero di averti chiarito qualche perplessita'..

[mark930]

ho mancato una condizione che da il problema, cioè che quella circonferenza passa per il punto

[math]P(2,3)[/math]

[BIT5]

E alla faccia.... se avessi saputo avrei evitato di scrivere per mezz'ora.

Affinche' una curva o una funzione passi per un punto, e' sufficiente che sia soddisfatta la condizione di apparteneza (ovvero che sostituendo a x e y dell'equazione le coordinate del punto, l'equazione sia verificata)

Quindi nel tuo caso

[math] 2^2+3^2-(m-1)2-2 (3) - 3 = 0 \to -2(m-1)+4=0 \to m-1=2 \to m=3 [/math]

E quindi la circonferenza sara'

[math] x^2+y^2-(3-1)x-2y-3=0 \to x^2+y^2-2x-2y-3=0 [/math]

Ammazza che forza, e' la stessa circonferenza che ho trovato sopra nell'esempio :D

.

[mark930]

scusa per l'equivoco :| (anche se potrà essere utile a qualcun'altro che leggerà la discussione), ti ringrazio e per me puoi chiudere.
cmq nei calcoli hai sbagliato qualcosa perchè viene

[math]m=9[/math]