Geometria Analitica
Ho una professoressa nuova che ci sta ammazzando con questi problemi, che a prima vista sembrano abbastanza storti.
Questo è il primo problema che ci da di questo tipo.
La mia mente arriva fino a questo punto:
La curva è una parabola avente tutte le x => 0, quindi è un "ramo di parabola" o qualcosa del genere. Per disegnarlo io ho preso semplicemente 4 punti, non so se c'è un metodo meno rozzo; il secondo punto ci dice di studiare per quali valori il fascio interseca la curva. Mettendo a sistema la curva con il fascio mi viene fuori una cosa di questo tipo, che è alquanto preoccupante $ h^2 + 2hx - 3x^2 + 4 $, da cui non ricavo una mazza, dovrei mettere il Delta maggiore di 0, ma mi viene un equazione di secondo grado in x, non sono sicuro che sia giusta.
Per il punto b) non ci dovrebbero essere problemi, visto che la simmetria si fa alle elementari. Non ho mai incontrato un punto come il c), non ho la più pallida idea di cosa intenda. Il punto d) si può anche fare, ma il problema è che non riesco a ricavarmi i dati precedenti...
Dopo aver disegnato il grafico della curva R, di equazione
$ y = sqrt(x*|x|+1) $
determinare :
a) per quali valori di ha la retta di equazione $ x - 2y + h = 0$ internseca la curva, e il numero dei punti d'intersezione;
b) l'equazione della curva R2 simmetria di R rispetto all'asse x;
c) l'equazione della curva F di unione di R e R1;
d) i punti della curva F che hanno distanza uguale a $sqr(3)$ dal punto $ A( 1, 0)$; calcolare , inoltre , l'area del quadrilatero convesso avente per vertici i punti così trovati.
Questo è il primo problema che ci da di questo tipo.
La mia mente arriva fino a questo punto:
La curva è una parabola avente tutte le x => 0, quindi è un "ramo di parabola" o qualcosa del genere. Per disegnarlo io ho preso semplicemente 4 punti, non so se c'è un metodo meno rozzo; il secondo punto ci dice di studiare per quali valori il fascio interseca la curva. Mettendo a sistema la curva con il fascio mi viene fuori una cosa di questo tipo, che è alquanto preoccupante $ h^2 + 2hx - 3x^2 + 4 $, da cui non ricavo una mazza, dovrei mettere il Delta maggiore di 0, ma mi viene un equazione di secondo grado in x, non sono sicuro che sia giusta.
Per il punto b) non ci dovrebbero essere problemi, visto che la simmetria si fa alle elementari. Non ho mai incontrato un punto come il c), non ho la più pallida idea di cosa intenda. Il punto d) si può anche fare, ma il problema è che non riesco a ricavarmi i dati precedenti...
Risposte
Comincio subito con il darti una brutta notizia: non si tratta di una parabola, ma di un ramo di iperbole e un arco di circonferenza.
La curva è $y=sqrt(x*|x|+1)$, il secondo membro è positivo, quando esiste, il primo no, quindi per mantenere l'uguaglianza ed eliminare la radice si può trasformare in $\{(y >= 0),(y^2=x*|x|+1 ):}$ a questo punto è opportuno cercare di eliminare il modulo, ci saranno 2 casi, uno quando $x<0$ e l'altro con $x>=0$, la funzione diventa
$\{(y >= 0),(x<0),(y^2=-x^2+1 ):}$ e questo non è altro che l'arco di circonferenza di centro $(0; 0)$ e raggio 1 situato nel secondo quadrante, per le condizioni di esistenza si ha $-1<=x<0$, ma queste condizioni risultano evidenti anche dall'arco di circonferenza.
$\{(y >= 0),(x>=0),(y^2=x^2+1 ):}$ e questo è metà del ramo superiore dell'iperbole equilatera di vertice $(1; 0)$ e asintoto $y=x$ situato nel primo quadrante.
Prova a vedere se ti trovi. Traccia la figura. Dopo, eventualmente, parliamo delle intersezioni con il fascio di rette.
La curva è $y=sqrt(x*|x|+1)$, il secondo membro è positivo, quando esiste, il primo no, quindi per mantenere l'uguaglianza ed eliminare la radice si può trasformare in $\{(y >= 0),(y^2=x*|x|+1 ):}$ a questo punto è opportuno cercare di eliminare il modulo, ci saranno 2 casi, uno quando $x<0$ e l'altro con $x>=0$, la funzione diventa
$\{(y >= 0),(x<0),(y^2=-x^2+1 ):}$ e questo non è altro che l'arco di circonferenza di centro $(0; 0)$ e raggio 1 situato nel secondo quadrante, per le condizioni di esistenza si ha $-1<=x<0$, ma queste condizioni risultano evidenti anche dall'arco di circonferenza.
$\{(y >= 0),(x>=0),(y^2=x^2+1 ):}$ e questo è metà del ramo superiore dell'iperbole equilatera di vertice $(1; 0)$ e asintoto $y=x$ situato nel primo quadrante.
Prova a vedere se ti trovi. Traccia la figura. Dopo, eventualmente, parliamo delle intersezioni con il fascio di rette.
Da qui riesco a fare tranquillamente i punti a) e b) non capisco cosa intende nel punto c) il punto d) è risolvibile con un po di calcoli..
La tua funzione è $y=sqrt(x*|x|+1)$, la simmetrica rispetto all'asse delle x è ottenuta cambiando di segno la $y$, quindi $y= -sqrt(x*|x|+1)$, riassumendo le due funzioni si ottiene la curva algebrica $y^2=x*|x|+1$
Quindi l'unione delle due funzioni è $y^2 = x*|x| + 1$ ?
Da qua bisogna studiare il modulo di nuovo e fare il punto d).
Ok, sembra chiaro anche se è un po insidioso.. grazie
Da qua bisogna studiare il modulo di nuovo e fare il punto d).
Ok, sembra chiaro anche se è un po insidioso.. grazie
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