Geometria analitica (217059)

[b._daniela15]

un triangolo rettangolo ha per ipotenusa il segmento di estremi A(2;0) e B(12;0).sapendo che la sua area è 15 trova le coordinate del terzo vertice C. come trovo il punto C? per favore ho bisogno di un aiuto

[.anonimus.]

Dalle coordinate dei punti A e B si nota che il segmento AB giace sull'asse delle x, e la sua lunghezza è

[math]12 - 2 = 10[/math]

.
L'altezza relativa all'ipotenusa è allora
h=2S/b cioè 2x15:10=3 e quindi l'ordinata del vertice C è

[math]3[/math]

.

Per trovare l'ascissa osserviamo che il punto C giace sulla circonferenza di diametro AB, il cui centro è il punto medio

[math]M(7; 0)[/math]

e il cui raggio è

[math]10/2 = 5[/math]

, ed ha quindi equazione

[math](x - 7)² + y² = 5²[/math]

ovvero

[math]x² + y² - 14x + 24 = 0[/math]

Sostituendo y = 3 nell'equazione si ottiene

[math]x² - 14x + 33 = 0[/math]

[math]x = 7 ± √(49 - 33) = 7 ± 4[/math]

Le soluzioni sono pertanto i due punti

[math]C(3; 3)[/math]

[math]C(11; 3)[/math]

Ciao Laura!

[b._daniela15]

potresti spiegarmelo in un modo più semplice perché non abbiamo ancora fatto la circonferenza perciò non ho capito la spiegazione, puoi rispiegarmelo per favore?

[mc2]

Se non hai ancora fatto la circonferenza allora puoi usare il secondo teorema di Euclide.

AB e` l'ipotenusa del triangolo rettangolo e misura 10

CH e` l'altezza del triangolo rettangolo relativa all'ipotenusa; la sua misura si ricava conoscendo l'area:

[math]S=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{10}{2}CH=15[/math]

Quindi CH misura 3 (siccome il segmento CH e` verticale, questa sara` l'ordinata di C)

Il secondo teorema di Euclide dice che:

[math]AH\cdot HB=CH^2[/math]

Ponendo

[math]AH=x[/math]

,

[math]HB=10-x[/math]

si ha l'equazione:

[math]x(10-x)=9[/math]

[math]x^2-10x+9=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]x=1[/math]

e

[math]x=9[/math]

cioe` AH=1 e HB=9, oppure AH=9 e HB=1

L'ascissa di A e` 2, quindi l'ascissa di C e` 2+x (e` tutto molto piu` semplice da capire se ti fai un disegno)

Quindi per il punto C le coordinate possibili sono

[math]C(3,3)[/math]

e

[math]C(11,3)[/math]